Решение:

1. Составим уравнение стороны ВС, применим уравнение прямой проходящей через две заданные точки:

, где В(1;-3), С(-4;2). Тогда

5(x-1)=-5(y+3),

5x-5=-5y+15,

5x-5+5y+15=0 :/5,

x+y+2=0 – общее уравнение стороны ВС.

2)Найдем координаты точки F- середины отрезка ВС по формуле середина отрезка:

где В(1;-3), С(-4;2).

, F(-1,5;-0,5).

Составим уравнение медианы AF, применим уравнение прямой проходящей через две заданные точки:

, где A(6;5), F(-1,5;-0,5). Тогда

, , -5,5⋅(x-6)=-7,5(y-5), -5,5x+33=-7,5y+37,5,

-5,5x+33+7,5y-37,5=0, -5,5x+7,5y-4,5=0⋅/-2

11x-15y+9=0-общее уравнение медианы AF.

3) Составим уравнение высоты СЕ треугольника, применим уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальном вектором:

А⋅(x-x₀)+B⋅(y-y₀)=0, где заданной точкой является точка С(-4;2).

Нормальным вектором для высоты СЕ является вектор .

Найдем его координаты: = = ,

= =(1-6;-3-5)

= (-5;-8), значит, A= -5; В= -8. Тогда получим

-5⋅(x-(-4))+(-8)⋅(y-2)=0, отсюда -5⋅(х+4)-8⋅(у-2)=0, -5x -20-8y+16=0,

-5x-8y-4=0⋅/-1

5x+8y+4=0 – общее уравнение высоты СЕ.

4) Чтобы найти угол между медианой AF и СЕ, нужно сначала перевести их уравнения из общего уравнения прямой в уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

AF: 11x – 15y + 9 =0, отсюда:

-15y=-11x-9 :/-15

у = ,

у = , k₁ = - угловой коэффициент медианы AF.

Для СЕ:

5x +8y+4=0, отсюда

8y=-5x-4 :/8

y= , k₂= - угловой коэффициент высоты CE.

Находим угол по формуле:

k₁= , k₂=

Ответ: 1) х+у+2=0; 2) 11х-15у+9=0; 3) 5х+8у+4=0; 4) .

Методические указания и примеры типового расчёта заданий практической работы №4 по теме

«Применение векторного и смешанного произведения векторов

при решении задач»

Теория

1. Для нахождения длин рёбер пирамиды, нужно задать на рёбрах вектора. Тогда длина ребра равна длине вектора. Определите координаты векторов, для этого из кoординат конца вектора вычесть координаты его начала:

Длина вектора =(x_a -x_1;y₂-y₁;z₂-z₁) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат: = .

2. Угол между ребрами и можно рассматривать как угол между векторами и

Тогда косинус угла формуле _,

скалярное произведение двух векторов

=(x₁;y_1;z₁) и =(x_2;y_2;z₂) находится по формуле ∙ = ∙ + .

3. Площадь грани равна площади ∆ :

S_∆A1A2A3 = , где ).

Тогда, S_∆A1A2A3= , то есть площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов и .

Векторное произведение , где ), =( ),

находится с помощью определителя третьего порядка:

.

4. Уравнение грани составим, применив уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой: ( , тогда

5

.

.Чтобы составить уравнении высоты ,опущенной из вершины на грань ,нужно применить каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную точку ) с заданным направляющим вектором =(l;m;n):

=(I,m,n)

За напрвляющий вектор искомой прямой (то есть, вектор, параллельный этой прямой) можно принять нормальный вектор грани на которую опущена высота (т.к. все перпендикуляры к данной плоскости параллельны между собой).

Координаты параллельного вектора =(A;B;C) легко определить из уравнения плоскости Ах+Ву+Сz+D=0. Значит, l=A, m=B,n=C.

6. Расстояние от вершины до грани определить по формуле расстояния от точки до плоскости:

d= , где ( ) координаты точки;

7. Объем пирамиды равен модуля смешанного произведением трех векторов, выходящих из одной вершины, на которых построена эта пирамида:

=

Смешанное произведение трех векторов =( ), =( ),

= ( ) есть число, которое можно найти с помощью определителя третьего порядка:

= = .