Вариант 20

В таблице приведены данные по общему числу (в тысячах) выданных в США патентов на изобретения с 1955 по 1989 год и затраты (в миллиардах долларов 1982 года) на научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы.

Год	Затраты на НИР и ОКР, (X)	Число патентов, (Y)
1955	22,80	83,07
1956	29,05	79,83
1957	32,72	79,01
1958	35,00	82,55
1959	39,73	83,59
1960	43,60	84,25
1961	45,80	87,92
1962	48,20	90,08
1963	52,60	90,84
1964	57,20	92,98
1965	59,40	100,15
1966	62,60	93,25
1967	64,40	92,72
1968	65,50	98,40
1969	64,70	103,99
1970	62,40	109,05
1971	60,40	110,94
1972	61,40	104,93
1973	62,40	109,24
1974	61,50	107,72
1975	59,90	107,46
1976	62,10	109,58
1977	63,70	108,38
1978	66,80	108,65
1979	70,10	108,21
1980	73,20	112,30
1981	76,60	114,00
1982	80,00	118,00
1983	85,70	112,10
1984	93,80	120,30
1985	102,40	126,80
1986	105,20	132,60
1987	108,30	139,50
1988	111,40	151,50
1989	112,10	165,80

1. Постройте данные на координатной плоскости XOY.

2. Предположим, что число патентов на изобретения Y линейно связано с затратами на научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы X, то есть они связаны соотношением Y_t=β₁ + β₂X_t + u_t . Найдите оценки β₁ и β₂ и дайте им истолкование.

3. Найдите величину коэффициента детерминации R² и истолкуйте полученный результат.

4. Найдите величину коэффициента корреляции r и истолкуйте полученный результат. Как связаны друг с другом r и β₂?

5. Вычислите оценку дисперсии стохастического члена σ² и его стандартную погрешность σ.

6. Подсчитайте стандартные погрешности коэффициентов регрессии.

7. Для уровня значимости α=0,05 найдите 95%-е доверительные интервалы для коэффициентов регрессии и истолкуйте полученные результаты.

8. Для выбранного уровня значимости проверьте гипотезу о равенстве нулю коэффициентов регрессии. Используйте вначале метод, основанный на доверительных интервалах, а затем найдите критическое значение t_n-2(α/2) и используйте подход проверки на значимость.

9. Приведите основные результаты регрессионного анализа в общепринятой форме.

10. Найдите для каждого значения X из таблицы доверительный интервал для среднего прогноза при α=0,05. На основании этих данных изобразите на графике доверительную область по среднему прогнозу.

11. Дайте определение и подсчитайте коэффициент эластичности числа патентов по затратам на НИР и ОКР. Является ли он постоянной величиной для всех значений X или нет? В какой точке принято находить значение коэффициента эластичности? Истолкуйте полученный результат. В чем заключается основное отличие коэффициента эластичности от коэффициента регрессии β₂?

12. Используйте теперь следующую модель: lnY_t=β₁ + β₂ lnX_t + u_t . Оцените эту регрессию и приведите результаты в общепринятом виде.

13. Сравните результаты анализа данных на основании двух использованных моделей. Можно ли сравнивать коэффициенты регрессии двух моделей?