2. Модель множественной регрессии и методы ее построения

2.1. Расчетные формулы

2.1.1 Оценки вектора коэффициентов регрессии:

b = (X'X)^-1X'Y.

2.1.2. Стандартная ошибка k-го коэффициента регрессии, равная корню квадратному из соответствующего диагонального элемента ковариационной матрицы векторной оценки

Решение типовой задачи

Задание 3. По данным табл. 5, используя матричную форму метода наименьших квадратов, рассчитать:

1) коэффициенты регрессии;

2) Стандартные ошибки коэффициентов регрессии;

3) множественный индекс корреляции;

4) бетта - коэффициенты;

5) парные коэффициенты корреляции;

6) множественный коэффициент корреляции;

5) Дисперсионное отношение Фишера.

Построить уравнение регрессии, используя «Пакет анализа» табличного процессора Excel, и полученные результаты сравнить с расчетами по методу наименьших квадратов.

Таблица 6

Решение с помощью табличного процессора Excel

1. Ввод исходных данных с включением в модель дополнительной переменной х₀, принимающей единственное значение, равное 1.

2. Расчет коэффициентов регрессии с использованием матричных функций Excel.

2.1. Формирование матрицы системы нормальных уравнений (Х'Х) с помощью функций ТРАНСП () и МУМНОЖ ().

2.2. Формирование вектора правой части системы нормальных уравнений (X'Y) с помощью функций, указанных в п. 2.1.

3. Расчет стандартных ошибок с использованием функций Excel.

3.1. Вычисление расчетных значений у по полученному уравнению регрессии.

3.2. Нахождение отклонений расчетных значений от фактических.

3.3. Подсчет суммы квадратов отклонений.

3.4. Вычисление остаточной дисперсии и оформление промежуточных результатов в виде табл. 7.

Таблица 7

3.5. Получение стандартных ошибок в виде корня квадратного из произведения диагональных элементов обратной матрицы на остаточную дисперсию

32,43883

0,265573

0,46365

4. Вычисление множественного индекса корреляции.

4.1. Проведение промежуточных расчетов и оформление их в виде табл. 8.

Таблица 8

Y	X1	X2
131	110	106	596.7551	262.9031	2076.76
70	35	66	1337.469	3455.76	31.0408
31	16	61	5711.041	6050.617	0.32653
106	46	53	0.326531	2283.474	55.1837
109	50	23	5.897959	1917.189	1400.9
75	99	48	996,7551	27.18878	154.469
111	1 14	52	19.61224	408.6173	71.0408
54	132	41	2763,755	1460.332	377,469
79	111	48	760.1837	296,3316	154.469
242	168	102	18340.9	5507,76	1728.18
170	105	91	4023.184	125.7602	934.612
80	110	45	706.0408	262.9031	238.041
96	108	48	111.7551	202.0459	154.469
138	109	62	987,7551	231.4745	2.46939
106.5714	93.78571	60.42857	36361,43	22492.36	7379.43
Дисперсия			2797.033	1730.181	567,648
Cpеднее квадратическое отклонение			52,88698	41,59545	23,8254

6. Расчет парных коэффициентов корреляции и оформление расчетов в виде таблицы 9.

Таблица 9.

9. Построение регрессионного уравнения с использованием «Пакета анализа» Excel. Идентичность результатов, полученных с помощью расчетных формул и инструментальных средств Excel, свидетельствует о правильном понимании алгоритма метода наименьших квадратов в матричной форме.

Контрольное задание

В таблице 3 представлены данные о производительности труда, фондоотдаче и уровне рентабельности ООО «Весна»

№ п/п	Производительность труда, руб.	Фондоотдача, руб.	Уровень рентабельности, %
1	7343	1,08	20,1
2	3991	1,05	12,9
3	5760	0,99	18,0
4	3000	1,02	11,7
5	5241	0,98	17,9
6	4500	1,04	16,8
7	4300	1,03	15,6
8	3212	1,10	14,3
9	6743	1,03	18,1
10	5234	0,98	17,8
11	2500	0,78	13,0
12	3930	0,99	14,2
13	14333	1,43	24,2
14	6980	1,03	20,0
15	6740	1,05	19,3
16	7840	1,0	18,1
17	4201	1,15	14,9
18	5240	1,07	17,0
19	3420	1,12	13,7
20	4241	0,88	15,9
21	4575	1,05	17,0
22	4500	1,23	16,6
23	3662	1,17	14,3
24	7743	1,23	18,1
25	5834	1,08	16,8
26	2600	0,88	14,3
27	4930	1,29	16,2
28	1432	1,03	14,2
29	6720	1,09	12,0
30	7406	1,45	19,3

Используя матричную форму метода наименьших квадратов, по данным этой таблицы рассчитать:

1) коэффициенты регрессии;