4. Ромб как частный вид параллелограмма. Свойства ромба. Признаки ромба.

Определение 1. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особое свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Д ано: ABCD – ромб.

Доказать: АС  ВD; ВАС = САD;

AВD = DBC.

Доказательство:

Рассмотрим АВС.

АВ = ВС, АО = ОС.

 ВО – высота и биссектриса АВC.

 ВС  AD; АВO = CВO.

Рассмотрим АВD.

АВ = AD, BО = ОD.

 AО – высота и биссектриса BАD.

 ВAO = OAD.

Признаки ромба.

Признак 1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

Д ано: ABCD – параллелограмм; АС  ВD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

АО = ОС (по свойству диагоналей параллелограмма);

ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма);

АОВ = ВОС = СОD = АОD = 90°;

 АОВ = ВОС = СОD = AOD (как прямоугольные по двум катетам);

 АВ = ВС = СD = AD;

 АВСD – ромб.

Признак 2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм является ромбом.

Д ано: ABCD – параллелограмм;

ВАО = ОАD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

АО – общая;

ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма);

ВАО = DAО (по условию);

 АОВ = AOD (как прямоугольные по катету и прилежащему острому углу);

 АВ = AD  АВСD – ромб.

5. Прямоугольник как частный вид параллелограмма. Свойства прямоугольника. Признак прямоугольника.

Определение 1. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особое свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

Д ано: ABCD – прямоугольник.

Доказать: AС = BD.

Доказательство:

Рассмотрим АВС и ВСD.

ВС – общая;

АВ = СD (по свойству параллелограмма);

АС = ВD (по условию);

АВС = ВСD = 90° (по свойству прямоугольника).

 АВС = ВCD (как прямоугольные по двум катетам).

 АС = ВD.

Признак прямоугольника. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Д ано: ABCD – параллелограмм;

AC = BD.

Доказать: ABCD – прямоугольник.

Доказательство:

Рассмотрим АВС и ВСD.

ВС – общая;

АС = ВD (по условию);

АВ = СD (по свойству параллелограмма).

 АВС = ВCD (по 3 признаку).

 АВС = ВСD.

АВС + ВСD = 180°

 АВС = ВСD = 90°. В = D и А = С (по свойству параллелограмма).

 ABCD – прямоугольник.

6. Квадрат как частный вид параллелограмма. Свойства квадрата. Признаки квадрата.

Определение 1. Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые.

Определение 2. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Так как квадрат является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

1. У квадрата противоположные стороны и углы равны.

2. У квадрата диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Так как квадрат является прямоугольником, то он обладает особым свойством прямоугольника.

3. У квадрата диагонали равны.

Так как квадрат является ромбом, то он обладает особым свойством ромба.

4. У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Обобщив все перечисленные свойства, получим следующие свойства квадрата.

1. У квадрата все стороны равны.

2. У квадрата все углы прямые.

3. У квадрата диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

4. У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.

5. У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов. Стороны квадрата образуют с диагоналями углы по 45°.

Признаки квадрата. Чтобы доказать, что параллелограмм является квадратом, нужно:

1. Доказать, что параллелограмм является ромбом, а затем доказать, что у этого ромба все углы прямые.

2. Доказать, что параллелограмм является прямоугольником, а потом доказать, что у этого прямоугольника все стороны равны.

7. Трапеция. Средняя линия трапеции.

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие – непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны – боковыми.

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной.

Определение 2. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойство средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция; AD II BC; MN – средняя линия.

Доказать: MN II AD; MN II BС;

Доказательство:

Рассмотрим NВС и NDE.

СN = ND (по условию); ВNС = END (вертикальные);

BСN = NDE (внутренние накрест лежащие при BC II AD и секущей CD);

• NВС и NDE (по 2 признаку)  BN = NE; BC = DE.

Рассмотрим AВE. MN – средняя линия MN II AD; MN=0,5AE.

AE = AD + DE = AD + BC 