Билет № 1.
Что изучает геометрия? Разделы геометрии: планиметрия и стереометрия. Логическое строение геометрии. Что называется аксиомой, теоремой, определением? Привести примеры.
Определение треугольника. Какие треугольники называются равными? Сформулировать признаки равенства треугольников. Доказать первый признак равенства треугольников.
Задача.
Билет № 2.
Перечислить основные фигуры. Как они изображаются и обозначаются? Аксиома принадлежности точек и аксиома прямой. Сформулировать, сделать чертеж и символическую запись.
Определение серединного перпендикуляра. Доказать свойство серединного перпендикуляра.
Задача.
Билет № 3.
Взаимное расположение прямых на плоскости и в пространстве (показать на моделях и сделать чертеж; обозначение). Доказать теорему о свойстве прямых. Аксиома параллельных прямых.
Определение угла; биссектрисы угла. Доказать теорему о свойстве биссектрисы угла.
Задача.
Билет № 4.
Определение отрезка, его обозначение. Аксиома расположения точек на прямой (чертеж, символическая запись). Что называется длиной отрезка, его серединой?
Определение перпендикулярных прямых. Доказать теорему о прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку этой прямой.
Задача.
Билет № 5.
1. Какие отрезки называются равными? Аксиома измерения отрезков (формулировка, чертеж, символическая запись).
2. Определение равнобедренного, равностороннего треугольника. Доказать свойство углов равнобедренного, равностороннего треугольников.
3. Задача.
Билет № 6.
1. Определение полуплоскости. Аксиома разбиения плоскости и свойства разбиения (сформулировать, сделать чертеж и символическую запись).
2. Определение медианы. Доказать свойство медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию. Сформулировать обратные теоремы.
3. Задача.
Билет № 7.
Определение, изображение, обозначение луча (полупрямой). Какие полупрямые называются дополнительными? Аксиома откладывания отрезков (формулировка, чертеж, символическая запись).
Определение хорды, диаметра круга. Доказать теорему о диаметре, перпендикулярном хорде. Сформулировать обратную теорему.
Задача.
Билет № 8.
Определение и обозначение угла. Виды углов и их определение (сделать чертежи). Доказать свойство биссектрис вертикальных углов.
Определение вневписанной окружности. Доказать теорему о центре вневписанной окружности.
Задача.
Билет № 9.
Единицы измерения углов (градусы, минуты, секунды и перевод одних единиц в другие). Как измерять углы с помощью транспортира? Аксиома измерения углов (формулировка, чертеж, символическая запись).
2. Определение окружности, радиуса окружности, касательной к окружности. Доказать теорему об отрезках касательных, проведенных из одной точки к окружности.
3. Задача.
Билет № 10.
1. Определение равных углов, биссектрисы угла. Аксиома откладывания углов (формулировка, чертеж, символическая запись).
2. Определение окружности, описанной около треугольника. Доказать теорему о центре описанной окружности. Описать окружность около остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника.
3.Задача.
Билет № 11.
1. Определение треугольника и его элементов. Виды треугольников (по углам и по сторонам). Как называются стороны прямоугольного треугольника? Определение равных треугольников, соответственных сторон и углов.
2. Определение окружности, вписанной в треугольник. Доказать теорему о центре вписанной окружности. В данный треугольник вписать окружность.
3.Задача.
Билет № 12.
1. Аксиома существования треугольника, равного данному (формулировка, чертеж, символическая запись). Доказать теорему о прямой, пересекающей одну из сторон треугольника. Требования к доказательству теорем.
2. Алгоритм решения задач на построение. Построить треугольник по трем сторонам. Построить биссектрису угла.
3.Задача.
Билет № 13.
1. Виды треугольников по сторонам. Название сторон в равнобедренном треугольнике. Какие теоремы называются обратными? Доказать свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию. Сформулировать обратные теоремы.
2. Что значит решить задачу на построение? Построить угол, равный данному. Построить середину отрезка.
3. Задача.
Билет № 14.
1. Виды треугольников по углам. Как называются стороны в прямоугольном треугольнике? Схема доказательства от противного. Доказать теорему о пересечении прямой одной из параллельных прямых.
2. Какие прямые называются взаимно перпендикулярными? Что называется перпендикуляром к данной прямой? Построить прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через точку, лежащую на этой прямой (не лежащую на данной прямой).
3. Задача.
Билет № 15.
1. Определение высоты, медианы, биссектрисы треугольника. Замечательные точки треугольника (сделать чертеж и дать им определение).
2. Определение смежных и вертикальных углов. Доказать свойства и следствия.
3. Задача.
Билет № 16.
1. Определение равных треугольников. Сформулировать признаки равенства треугольников. Доказать второй признак.
2. Определение параллельных прямых. Сформулировать аксиому параллельных прямых. Доказать признак параллельности по внутренним накрест лежащим углам, внутренним односторонним углам.
3. Задача.
Билет № 17.
1. Определение равнобедренного, равностороннего треугольников. Доказать свойства углов равнобедренного и равностороннего треугольников. Сформулировать и доказать признаки равнобедренного и равностороннего треугольников.
2. Доказать теорему о свойствах углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей.
3. Задача.
Билет № 18.
1. Название углов, образованных при пересечении двух прямых третьей прямой. Сформулировать признаки параллельности прямых. Доказать признак параллельности по равенству соответственных углов.
2. Доказать теорему о сумме внутренних углов треугольника и следствия из нее.
3. Задача.
Билет № 19.
1. Сформулировать и доказать признаки равенства прямоугольных треугольников.
2. Определение внешнего угла треугольника. Доказать свойства внешнего угла треугольника.
3. Задача.
Билет № 20.
1. Определение расстояния между двумя точками; от точки до прямой; между параллельными прямыми. Доказать признаки параллельности прямых по двум прямым, параллельным (перпендикулярным) третьей прямой.
2. Сформулировать признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказать признак равенства по гипотенузе и катету.
3. Задача.
Билет № 21.
1. Определение окружности и ее элементов (центр, радиус, хорда, диаметр, дуга). Формула длины окружности; длины дуги. Определение центрального угла, его градусная мера.
2. Доказать свойство катета, лежащего против угла в 30°.
3. Задача.
Билет № 22.
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника (прямая и обратная).
Понятие многоугольника. Виды многоугольников. Свойства выпуклых многоугольников.
Задача.
Билет № 23.
Взаимное расположение окружности и прямой (рассмотреть все случаи, сделать чертежи и символическую запись).
Понятие параллелограмма. Свойства параллелограмма.
Задача.
Билет № 24.
Взаимное расположение двух окружностей (рассмотреть все случаи, сделать чертежи); расстояние между центрами окружностей.
Признаки параллелограмма.
Задача.
Билет № 25.
Доказать неравенство треугольника.
Ромб как частный вид параллелограмма. Свойства ромба. Признаки ромба.
Задача.
Билет № 26.
Определение параллельных прямых. Сформулировать и доказать признаки параллельности прямых.
Доказать теоремы о величине угла между хордами и секущими.
Задача.
Билет № 27.
1. Что означают слова «фигура состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством? Определение геометрического места точек (ГМТ). Привести примеры. Алгоритм решения задач на построение методом ГМТ.
2. Доказать теорему о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника.
3. Задача.
Билет № 28.
Определение вписанного угла. Доказать теорему о величине вписанного угла.
Трапеция. Средняя линия трапеции.
Задача.
Билет № 29.
Какой четырехугольник называется описанным около окружности? Доказать теорему о свойстве сторон описанного четырехугольника.
Прямоугольник как частный вид параллелограмма. Свойства прямоугольника. Признак прямоугольника.
Задача.
Билет № 30.
1. Какой четырехугольник называется вписанным в окружность? Доказать теорему о свойстве углов вписанного четырехугольника.
2. Квадрат как частный вид параллелограмма. Свойства квадрата. Признаки квадрата.
3. Задача.
ВОПРОСЫ К УСТНОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ. 8 класс.
1. Понятие многоугольника. Виды многоугольников. Свойства выпуклых многоугольников.
2. Понятие параллелограмма. Свойства параллелограмма.
3. Признаки параллелограмма.
4. Ромб как частный вид параллелограмма. Свойства ромба. Признаки ромба.
5. Прямоугольник как частный вид параллелограмма. Свойства прямоугольника. Признак прямоугольника.
6. Квадрат как частный вид параллелограмма. Свойства квадрата. Признаки квадрата.
7. Трапеция. Средняя линия трапеции.
1. Понятие многоугольника. Виды многоугольников. Свойства выпуклых многоугольников.
Определение 1. Ломаной линией называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т. п.
Отрезки, составляющие ломаную линию, называются звеньями. Соседние отрезки не лежат на одной прямой. Если концы ломаной совпадают, то она называется замкнутой. Ломаная может пересекать сама себя, касаться сама себя и налегать сама на себя. Если таких особенностей у ломаной нет, то она называется простой.
Определение 2. Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником.
Сама ломаная при этом называется границей многоугольника, звенья ломаной – сторонами многоугольника, концы звеньев – вершинами многоугольника. Две соседних стороны многоугольника образуют угол. Число углов в многоугольнике равно числу сторон. У каждого многоугольника есть углы меньше 180°. Стороны и углы многоугольника называют элементами многоугольника.
Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называется диагональю. В любом n-угольнике можно провести n-2 диагонали.
Определение 3. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Многоугольники, не отвечающие этому условию, называются невыпуклыми.
Свойства выпуклых многоугольников.
С
войство
1.
У выпуклого многоугольника все углы
меньше 180°.
Доказательство: Возьмем любой угол А выпуклого многоугольника Р и его сторону а, идущую из вершины А. Пусть - прямая, содержащая сторону а. Так как многоугольник Р выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой . Поэтому угол А лежит по одну сторону от прямой . Следовательно, угол А меньше развернутого, т. е. A < 180°.
Свойство 2. Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника, содержится в этом многоугольнике.
Доказательство: Возьмем любые две точки М и N выпуклого многоугольника Р. Многоугольник Р является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок MN лежит в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике Р.
Свойство 3. Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n – 2)∙180°.
Доказательство: Возьмем внутри выпуклого многоугольника Р произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами многоугольника. Образуется n треугольников, сумма углов каждого из которых равна 180°. Углы при вершине О в сумме дают 360° = 2∙180°. Поэтому сумма углов многоугольника равна n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.