2.2 Полярные координаты

Точку начала отсчета совместим с точкой декартовой системы координат на плоскости, полярную ось совместим с осью абсцисс декартовой системы и выберем единицу масштаба.

Полярными координатами точки называются два числа , первое из которых (полярный радиус ) равно расстоянию от точки до полюса , а второе (полярный угол ) – угол, на который нужно повернуть полярную ось до совмещения с радиусом .

(2.6)

Положительное направление отсчёта угла - против часовой стрелки.

Рис. 2.6

Связь между декартовыми и полярными координатами точки устанавливают следующие соотношения:

(2.7)

2.3 Цилиндрические координаты

На плоскости трехмерной декартовой системы координат введём полярные координаты. Ось сохраним.

Цилиндрическими координатами точки называются три числа , смысл которых понятен из предыдущего.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами точки устанавливают следующие соотношения:

(2.7*)

Рис 2.7

2.4 Сферические координаты

Совместим начало отсчёта сферической системы координат с началом отсчета трехмерной декартовой системы.

Здесь - расстояние от точки до начала координат, - угол между отрезком и положительным направлением оси , - полярный угол.

(2.8)

По аналогии с географическими координатами именуют долготой, а - широтой. Однако, в отличие от географических координат, на северном полюсе и на южном.

Связь между декартовыми и сферическими координатами точки устанавливают следующие соотношения:

(2.9)

Рис. 2.8

Задачи № 47, 49, 54(2), 55, 72, 93, 738,

Вопросы для повторения

1. Ось. Направленный отрезок на оси. Величина и длина направленного отрезка. Линейные операции над направленными отрезками. Теорема о величине суммы направленных отрезков.

2. Декартовы координаты на оси, на плоскости и в трехмерном пространстве.

3. Полярные цилиндрические и сферические координаты. Их связь с декартовыми координатами.

§3. Векторная алгебра

3.1 Понятие вектора и линейные операции над векторами

Геометрическим вектором, или просто вектором будем называть направленный отрезок.

Будем обозначать вектор либо как направленный отрезок , где точки и обозначают начало и конец вектора, либо малыми латинскими буквами со стрелкой .

Для обозначения длины вектора будем использовать символ модуля: Так это длина вектора .

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, или на параллельных прямых..

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Мы не различаем два равных вектора, имеющих различные точки приложения. В соответствии с этим вектора в аналитической геометрии считаются свободными.

Линейными операциями над векторами принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на вещественное число.

Определение 3.1 Суммой двух векторов называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора , при условии , что начало вектора совмещено с концом вектора .

Для операции сложения векторов справедливы четыре аксиомы:

1) (переместительное свойство);

2) (сочетательное свойство);

3) Существует нулевой вектор , такой, что ;

4) Для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что .

Рис. 3.1

Определение 3.2 Разностью двух векторов называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор . Можно показать, что , где - вектор, противоположный вектору . В самом деле,

.

Если привести вектора и к общему началу и построить параллелограмм на этих векторах, то вектор совпадет с диагональю параллелограмма, проходящей через общее начало, а вектор совпадет с другой его диагональю. Иначе говоря, разность векторов и , приведенных к общему началу, есть вектор , направленный из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора . Рисунок 3.2 наглядно иллюстрирует последние утверждения.

Определение 3.3. Произведением вектора на число называется вектор имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением вектора в случае и противоположное в случае .

Эта операция обладает следующими свойствами:

5)

6)

7)

Вектор единичной длины называется ортом и обозначается символом . - это орт вектора .

Очевидно что, , откуда следует, что (3.1)