Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Теорема Крамера
Система уравнений имеет вид,
(1.5)
Здесь
и
неизвестные,
а коэффициенты
и свободные члены
и
заданные
числа.
Решением системы
является пара чисел
,
подстановка которых в уравнения системы
(1.5) обращает эти уравнения в тождества.
Умножив первое
уравнение на
,
а второе на
и сложив полученные выражения, получим
(1.6)
Аналогично, умножая
уравнения системы на
и
и
складывая полученные выражения, будем иметь,
(1.7)
Введем следующие обозначения:
(1.8)
В новых обозначениях выражения (1.6) и (1.7) будут иметь вид:
и
(1.9)
Определитель
принято называть определителем
системы. Из
соотношений (1.9) просто получаются
формулы
Крамера
и
(1.10)
Могут представиться два случая: 1) определитель системы отличен от нуля. 2) определитель равен нулю.
В случае
решение системы существует и единственно,
так как система уравнений (1.9) является
следствием системы (1.5).
Формулы (1.10)
позволяют легко найти значения
и
.
Рассмотрим случай
.
Здесь имеют место два подслучая: а) хотя
бы один из определителей
или
отличен от нуля,
б) оба определителя и равны нулю.
В подслучае а) хотя бы одно из равенств (1.10) не имеет смысла, и система (1.9), а вместе с ней и система (1.5) не имеет решений.
В подслучае б) система (1.5) имеет бесконечно много решений.
В самом деле, из
равенства
заключаем, (См. (1.4)) что 
(1.11)
Это означает, что
второе уравнение системы (1.5) является
следствием первого и может быть отброшено.
Но линейное уравнение вида
имеет бесконечно много решений, так
как задав значение
,
из уравнения можно найти соответствующее
значение
,
и таких пар чисел существует бесконечно
много.
Приведенные выше утверждения составляют содержание теоремы Крамера, которую можно сформулировать так:
Если определитель системы (1.5) отличен от нуля, то существует и притом единственное, решение этой системы, определяемое формулами Крамера (1.10)
Если определитель системы (1.5) , то система либо вовсе не имеет решений (если хотя бы один из определителей или отличен от нуля), либо имеет бесконечно много решений (в случае ).
Замечание: В
случае, когда
и
система называется однородной. Однородная
система всегда имеет тривиальное решение
.
Если определитель системы
отличен от нуля, система имеет только
тривиальное решение.
Если же то однородная система имеет бесконечно много решений
.Таким образом, однородная система уравнений имеет нетривиальные решения в том и только в том случае, если её определитель равен нулю.
Уравнения системы
(1.5) являются уравнениями прямых на
плоскости. Числа
и
,
определяемые по формулам Крамера (1.10)
при
являются координатами точки пересечения
этих прямых. В случае однородной системы
уравнений точка пересечения прямых
совпадает с началом координат (
).
В случае прямые, описываемые системой (1.5) сливаются в одну, и все точки этой прямой образуют бесконечное множество решений системы. Это утверждение справедливо для однородной и неоднородной систем.
Если же при
,
или
,
то прямые, описываемые системой (1.5)
параллельны (система не имеет решений).
В случае однородной системы это
невозможно, так как обе прямые проходят
через начало координат.