9.5. Полярное уравнение кривых второго порядка.
Если
¬ угол между осью
и отрезком
(Рис.
9.5) , а
¬
расстояние от фокуса кривой до директрисы,
то
.
Откуда следует, что
(9.14)
Уравнение (9.14) справедливо для параболы, эллипса и «своей» ветви гиперболы (если фокус и директриса расположены по одну сторону от центра кривой). Для другой ветви гиперболы справед-ливо уравнение
(9.15)
9.6. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
. (9.16)
Для приведения
уравнения (9.16) к каноническому виду
нужно, чтобы коэффициенты
приняли нулевые значения. Этого можно
добиться за счёт переноса начала
координат и поворота системы координат.
При переносе
начала координат в точку
соотношения между старыми и новыми
координатами имеют следующий вид:
(9.17)
При повороте осей на угол :
(9.18)
Смысл обозначений
и
очевиден из соотношений (9.17) и (9.18). 
Подставив (9.17) в уравнение (9.16), получим:
Перегруппируем члены уравнения:
(9.19)
Выберем
и
так, чтобы коэффициенты при
и
обратились в нуль. Для этого решим
следующую систему уравнений:
(9.20)
Решение системы существует только в случае
,
поэтому начинать
следует с вычисления значения
.
(
для эллипса,
для гиперболы,
для параболы.)
Последнее обстоятельство заставляет начинать преобразование уравнения параболы с поворота осей координат.
Из выражения (9.19) очевидно, что коэффициенты при старших степенях и при переносе начала координат не изменяются. Последние шесть членов выражения (9.19) перегруппируем следующим образом:
(9.21)
Содержимое круглых
скобок в соответствии с (9.21) обращается
в нуль, а три оставшиеся члена выражения
позволяют найти новое значение свободного
члена
преобразованного уравнения кривой.
В итоге, уравнение (9.16) приобретает следующий вид:
(9.22)
Кривая, описываемая этим уравнением симметрична относительно центра, так как выполняется условие
.
Очевидно, что центр
симметрии кривой это точка
.
Поворот системы координат вокруг центра симметрии кривой позволяет избавиться от перекрестного члена уравнения (9.22).
Подставив в уравнение (9.22) соотношения (9.18) и перегруппировав члены полученного выражения, из условия обращения в нуль коэффициента при перекрестном члене, получим следующее соотношение:
.
Разделив его на
получим квадратное уравнение для
:
. (9.23)
Это уравнение
имеет два решения:
и
,
причём
.
Существуют три инварианта для уравнения (9.16), значения которых не изменяются при преобразованиях декартовой системы координат.
(9.24)
для эллипса,
для гиперболы,
для параболы.
Используя инварианты, уравнение (9.22) можно записать так:
(9.25)
Решая примеры, убедимся, что использование инвариантов существенно упрощает приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду
Пример 9.1.
Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:
.
В этом уравнении
.
Подставив значения
коэффициентов в инвариант
,
убедимся, что
,
то есть мы имеем дело с эллипсом.
Подставив значения коэффициентов в уравнения (9.20), и решив систему
,
найдем координаты центра симметрии эллипса
.
Подставив эти числа в уравнения (9.21), найдем новое значение свободного члена
.
После переноса начала координат в центр симметрии эллипса его уравнение приобретает следующий вид:
(9.26)
Перекрестный член в этом уравнении уничтожается за счет поворота осей координат. Тангенс угла поворота определяем из уравнения (9.23):
.
Коэффициенты
и
найдем, используя инварианты:
(Если
,
то
.)
В итоге уравнение эллипса примет следующий вид:
или
(9.27)
Рис. 9.5
Пример 9.2.
Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:
.
Значения коэффициентов уравнения:
Подставив эти значения в инвариант , убедимся, что
,
то есть мы имеем дело с параболой.
Преобразования начнем с поворота осей координат
Тангенс угла поворота определяем из уравнения (9.23):
.
(Последние формулы
справедливы для
.)
Подставим в уравнение
,
.
Получим:
Перегруппируем члены уравнения:
После упрощений получим:
.
В итоге получено уравнение параболы,
ось симметрии которой повернута на угол
,
а вершина находится в точке
Вопросы для повторения
Определения эллипса, гиперболы и параболы.
Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы.
Общее определение кривых 2-го порядка с использованием понятий директрисы и эксцентри-ситета кривой.
Полярные уравнения кривых 2-го порядка.
Упрощение общего уравнения кривой 2-го порядка при переносе начала декартовой системы координат в центр симметрии кривой.
Упрощение общего уравнения кривой 2-го порядка при повороте осей координат.
Инварианты преобразований координат и их использование при приведении общего уравнения кривых 2-го порядка к каноническому виду.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильин В. А. Позняк Э. Г Аналитическая геометрия: М.: Физматлит, 2001, 2002
2. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической
геометрии.-СПб: Мифрил, 2001
3. Бугров Я. С., Никольский С. М Элементы линейной
алгебры и аналитической геометрии, Феникс, 1997
СОДЕРЖАНИЕ
1. Предисловие - - - - - - - - - - - 3
2. Системы линейных уравнений.
Матрицы и определители - - - - - - - 4
3. Системы координат- - - - - - - - - 23
4. Векторная алгебра- - - - - - - - - - 30
5. Произведения векторов- - - - - - - - 40
6. Прямая линия на плоскости- - - - - - - 48
7. Плоскость в трехмерном пространстве- - - 60
8. Прямая линия в трехмерном пространстве - - 71
9. Основные задачи на прямую и плоскость- - - 76
10. Кривые второго порядка- - - - - - - - 81