§9. Кривые второго порядка

9.1. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух точек и , называе-мых фокусами, есть величина постоянная.

Если фокусы совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Ось проведем через точки и , начало координат поместим в среднюю точку отрезка . Расстояние между и фокусами примем за , Обозначим через и длины отрезков и . Пусть , тогда .

(9.1)

В соответствии с определением эллипса:

(9.2)

Это уже уравнение эллипса. С помощью стандартного приёма уничтожения радикалов оно приводится к каноническому виду

, (9.3)

где .

Графическое изображение эллипса представлено на рис. 9.2.

Величины и называются большой и малой полуосями эллипса. Координаты точек пересечения эллипса с осями координат

и ,

легко получить, подставив в уравнение (9.3) уравнения осей координат и .

9.2. Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим через и длины отрезков и . Пусть , тогда будет .

Систему координат выберем так же, как при выводе уравнения эллипса (рис. 9.1). Согласно определению гиперболы, её уравнение будет иметь следующий вид:

(9.4)

С помощью стандартного приёма уничтожения радикалов оно приводится к каноническому виду:

, (9.5)

где .

Гипербола пересекает ось в точках и , в чем легко убедиться, подставив в уравнение гиперболы (9.5) уравнение оси ­ . Получим уравнение

решения которого имеют вид и

Асимптотами гиперболы являются прямые с уравнениями

. (9.6)

Чтобы убедиться в этом, получим из уравнения (9.5) явное выраже-ние для :

(9.7)

и рассмотрим поведение разности при .

(9.8)

Утверждение (9.6) доказано.

9.3. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние от некоторой точки , именуемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, именуемой директрисой.

Для вывода уравнения параболы точку поместим на оси

на расстоянии, равном вправо от начала координат, а директрису проведем параллельно оси на таком же расстоянии влево от начала координат (Рис.9.3.)

В соответствии с определением параболы

(9.9)

Подставив и в равенство и возведя во вторую степень левую и правую части равенства, получим:

. (9.10)

После упрощений в выражении (9.10), получим каноническое уравнение параболы:

. (9.11)

9.4. Общее определение кривых второго порядка.

С помощью представлений о директрисах можно сформулировать единое определение кривых второго порядка. Для этого необхо-димо ввести понятие эксцентриситета кривой второго порядка.

Пусть ¬ расстояние между фокусами эллипса, а ¬ длина главной оси, тогда ¬ эксцентриситет эллипса. Для гиперболы эксцентриситет определяется аналогично.

Для эллипса:

. (9.12)

Директрисы эллипса перпендикулярны его главной оси и располо-жены по обе стороны от центра на расстоянии (т. к. ).

Для гиперболы:

. (9.13)

Директрисы гиперболы перпендикулярны её главной оси и распо-ложены по обе стороны от центра на расстоянии (т. к. ).

Эксцентриситет окружности равен нулю. Эксцентриситет параболы равен единице.

Определение.

Геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до точки (фокуса) к расстоянию

до директрисы есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при ), гиперболу (при ) или параболу (при ).