2.1. Определение напряжений в толстостенной оболочке

Расчетная схема экспериментального сосуда показана на рис.1, а. Для определения меридиональных, кольцевых и радиальных напряжений от внутреннего давления p используются следующие уравнения:

уравнение равновесия элемента

. (1)

Данное уравнение выражает условие равновесия выделенного элемента оболочки (рис.1, б) под действием нагрузок в направлении радиуса обечайки;

уравнение совместности деформаций

. (2)

Уравнение (2) выражает связь между относительными кольцевыми и радиальными деформациями данного элемента и ;

уравнение равновесия зоны

. (3)

В соответствии с уравнением (3) действие растягивающих сил в меридиональном направлении уравновешивается внутренними меридиональными силами (напряжением ).

Рис.1. Расчетная схема экспериментального сосуда (а), схема распределения

Напряжений в элементе толстостенной оболочки (б) и эпюры напряжений от внутреннего давления (в)

Согласно обобщенному закону Гука относительные деформации и связаны с напряжениями , и следующим образом:

, (4)

. (5)

Выражения для и , получаемые совместным решением уравнений (1), (2), (4), (5), имеют вид

, (6)

. (7)

Константы интегрирования A и B в выражениях (6), (7) определяются из граничных условий на внутренней и наружной поверхностях оболочки:

при ,

при .

С учетом (3) окончательные выражения для меридиональных, кольцевых и радиальных напряжений записываются в виде

, (8)

, (9)

. (10)

Приведенные формулы известны как формулы Ламе (по имени французского математика и инженера Габриеля Ламе, работавшего в Петербургской академии наук и впервые решившего данную задачу в 1830 – 1833 гг.).

Эпюры напряжений, построенные по формулам Ламе, показаны на рис.1, в.

2.2. Прочностной расчет толстостенных оболочек

Из эпюр на рис.1 видно, что кольцевые и радиальные напряжения максимальны на внутренней поверхности при :

, (11)

, (12)

и, кроме того, .

Условие прочности цилиндра в соответствии с энергетической теорией прочности записывается в виде

, (13)

где – эквивалентное напряжение, – допускаемые напряжения.

Из соотношений (10) – (13) следует расчетная формула для определения допускаемого давления в толстостенном цилиндрическом корпусе:

, (14)

Формула (14) получена в предположении об отсутствии пластических деформаций в материале стенки, поэтому она может быть рекомендована для расчета аппаратов из хрупких, материалов (чугун, стекло, керамика и т.д.).

При расчете толстостенных аппаратов из пластичных материалов следует иметь в виду, что напряжения в стенке корпуса распределяются неравномерно (рис.1, в) и максимальное их значение на внутренней поверхности не характеризует прочность стенки в целом. Напряжения от внутренних слоев к наружным уменьшаются и тем значительнее, чем больше толщина стенки. При дальнейшем повышении давления после того, как напряжение на внутренней поверхности корпуса достигнет предела текучести , наступает упруго-пластическая стадия работы материала, при которой зона пластических деформаций постепенно распространяется к периферии. Предельное давление, вызывающее пластическую деформацию во всей стенке сосуда, определяется из выражения

. (15)

Расчетная формула для допускаемого давления в сосуде с учетом коэффициента запаса прочности и коэффициента прочности сварного шва принимает вид

. (16)

Отношение наружного и внутреннего радиусов сосуда называется в технической литературе коэффициентом толстостенности

. (17)

Окончательно с учетом коэффициента толстостенности и допускаемых напряжений допускаемое внутреннее давление для толстостенной цилиндрической оболочки можно рассчитать по формуле

. (18)