Свойства дискретного преобразования Лапласа.
Свойство линейности.
,
, …
,
,
,
…,
– постояные числа.
(14)
Смещение в действительной области.
.
,
(15)
(16)
При
смещении в области действительной
переменной изображение умножается на
в степени равной величине смещения, при
.
При
:
.
Умножение оригинала на экспоненту.
,
(17)
Изображение разности.
;
;
,
(18)
.
(19)
Изображение суммы.
,
.
(20)
Изображение свертки. Сверткой двух дискретных функций
и
называется
.
,
,
.
(21)
Свертка в области изображений.
, ,
,
(22)
-
все особенности внутри круга радиуса
,.
- все
особенности внутри круга радиуса
,
где
,
- круг радиуса
,
где
.
Следствие.
.
(23)
Теорема
Парсиваля.
;
.
(24)
Производная изображения.
.
(25)
Теорема о предельном значении.
.
(26)
Теорема о начальном значении.
.
(27)
Все указанные свойства – преобразования справедливы и для смещенной дискретной функции.
Пример.
Найти изображение дискретной функции
.
Решение.
.
По формуле убывающей геометрической прогрессии
.
Ответ:
.
Пример.
Найти изображение дискретной функции
.
Решение .
.
По формуле убывающей геометрической прогрессии
.
Ответ.
.
Пример.
Найти изображение дискретной функции
.
Решение.
Заданную дискретную функцию представим
следующим образом
. Изображение функции
равно
.
Воспользуемся
свойством 8
.
Откуда
(*)
В
нашем случае
.
Тогда из (*) получаем
.
Ответ:
.
Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Лапласа. - преобразование.
- преобразование позволяет перейти от изображения по Лапласу непрерывной функции к – преобразованию соответствующей дискретной функции. Получим формулу этого преобразования
,
(28)
,
(29)
,
.
(30)
.
(31)
Подставим (31) в равенство (28)
.
Итак, окончательно
.
(32)
Интеграл в правой части равенства (32) следует вычислять как сумму вычетов
(33)