Уравнение

(6)

называется характеристическим уравнением, которое соответствует разностному уравнению (3). Характеристическое уравнение для разностных уравнений (3) и (5) одно и то же.

Общее решение линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами (3) состоит из двух слагаемых

1. из общего решения линейного однородного уравнения (5), которое зависит от постоянных и имеет вид

. (7)

2. из частного решения линейного неоднородного разностного уравнения (3), которое определяется видом функции .

Таким образом, решение неоднородного разностного уравнения (3) можно записать в виде

, (8)

Однородные уравнения.

Общее решение линейного однородного разностного уравнения (5) определяется корнями характеристического уравнения (6).

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Тогда общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

. (9)

Случай 2. Среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы одна пара комплексно сопряженных корней: .

Пусть и .

Тогда общее решение линейного однородного разностного уравнения (5) имеет вид

, (10)

где , . (11)

т. е. , – соответственно модуль и аргумент комплексного числа .

Формулы (10) и (11) легко распространяются на случай произвольного числа комплексно сопряженных корней.

Пример. Решить однородное разностное уравнение

при начальных условиях , .

Решение. Характеристическое уравнение

,

его корни

, , .

Общее решение однородного уравнения

,

,

,

,

где , – постоянные, которые определяются из заданных условий

, , , .

Решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (частное решение однородного разностного уравнения):

.

Ответ: .

Пример. Найти общее решение разностного уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение:

.

Корни характеристического уравнения:

, ,

Среди корней есть комплексно сопряженные корни:

, , , , .

Общее решение линейного однородного уравнения

.

Случай 3. Среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один корень кратности (корень действительный)

Пусть . Тогда общее решение линейного однородного разностного уравнения (5) имеет вид

, (12)

Формула (12) легко распространяется на случай произвольного числа кратных действительных корней характеристического уравнения.