Московский государственный технический университет
им. Н. Э. Баумана
Пузанов в. П.
ЛЕКЦИИ
ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»
ТЕОРИЯ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.
Факультет «Специальное машиностроение»
Кафедра «Подводные роботы и аппараты»
2003 год.
Дискретные функции.
Дискретность сигналов в цифровых системах обусловлена их квантованием по уровню и по времени. В противоположность непрерывным сигналам, которые описываются непрерывными функциями времени, дискретные сигналы могут принимать лишь дискретные значения в дискретные моменты времени.
Мы будем рассматривать сигналы, дискретные во временной области. Они представляют собой последовательности импульсов, появляющиеся в определенные моменты времени. Обычно дискретный сигнал получается в результате периодического прерывания непрерывного сигнала с постоянным периодом (тактом).
В цифровых системах управления обычно применяется лишь амплитудная модуляция импульсов, причем в основном тот ее вариант, при котором высота импульса пропорциональна текущему значению непрерывного сигнала, ширина постоянна, а интервалы между импульсами одинаковы и равны такту квантования.
Рисунок
иллюстрирует принцип получения
последовательности импульсов, основанный
на прохождении непрерывного сигнала
через ключ, который периодически с
тактом квантования
,
замыкается на время
.
Если
длительность импульса
существенно меньше периода квантования
,
,
или
,
то последовательность импульсов
можно
приближенно рассматривать как дискретный
сигнал
-дискретную
функцию, вид которой показан на рисунке
В этом случае ключ действует как идеальный квантующий элемент, и величины равны мгновенным значениям сигнала (амплитуд).
Модулированная по амплитуде дискретная функция , которая получается путем квантования по времени непрерывного сигнала с постоянным тактом математически описывается выражением
,
Наряду
с функциями, определенными на всей
вещественной оси
,
можно рассматривать функции, которые
определены только в некоторых точках
Такие функции называются дискретными
( решетчатыми ).
Мы
будем рассматривать функции, определенные
только в равноотстоящих точках
,
где
-
любое целое число,
- постоянная, называемая периодом
дискретности. Дискретные функции принято
обозначать
.
Любой
непрерывной функции
можно поставить в соответствие некоторое
множество решетчатых функций, если
представить аргумент
в виде
При
каждом фиксированном значении переменной
функцию
можно рассматривать как решетчатую
функцию, определенную в точках
. Такие
функции называются смещенными дискретными
(решетчатыми) функциями. Эти функции
будем обозначать
.
Изменяя переменную
от 0 до 1, можно получить множество
смещенных решетчатых функций
,
соответствующих данной непрерывной
функции
.
Благодаря непрерывности функции
,
функция
является непрерывной по аргументу
.
Функция
является функцией одного аргумента
при фиксированном значении
.
Поэтому в дальнейшем постоянную
в обозначении дискретной функции будем
опускать и дискретную функцию будем
обозначать как
Аналогично для смещенной дискретной
функции
-функция
двух переменных
и
.