2.5 Создание сетки кэ (ассамблирование).
Важным этапом моделирования с помощью МКЭ является дискретизация или построение сетки конечных элементов КЭ. Обычно в современных программных продуктах реализуется несколько вариантов построения сетки КЭ (в дальнейшем просто сетки). Поскольку увеличение возможностей создания сетки дает инженеру, использующему программу, более гибкий инструмент для решения более широкого класса задач.
В современных программах широкое применение нашло два направления, связанных с построением сетки. Это явное и неявное моделирования. При осуществлении процесса явного моделирования пользователь должен полностью определить параметры сетки КЭ и ее локальные особенности. Для осуществления подобной работы программа должна быть оснащена значительными средствами, позволяющими редактировать отдельные фрагменты и всю сетку в целом. Использование этих средств базируется на знании пользователем МКЭ, поэтому данное направление требует более высокой квалификации пользователя.
В случае использования неявного моделирования работа с построением сетки ограничивается заданием величины ребра КЭ или количеством КЭ. Обычно, программы сочетают оба направления моделирования тем самым, позволяя пользователю быстро создать сетку и при необходимости ее отредактировать.
Практически все программные продукты в настоящий момент имеют автоматический генератор сетки, который может создавать сетку автоматически после указания количества КЭ, либо по заданной пользователем величине ребра КЭ. При этом сетка может быть как упорядоченной (когда КЭ обладают определенной формой и размерами в близи друг друга) или произвольной, свободной (при этом размеры соседних КЭ могут значительно отличаться друг от друга).
Очевидна взаимосвязь между количеством КЭ в сетке и их размерами: количество КЭ в модели определяет их размеры и наоборот размер КЭ определяет их количество в сетке.
Согласно рекомендациям /14/ при выборе КЭ для сетки необходимо учитывать то что:
линейные элементы требуют более частой сетки, чем квадратичные (с одним промежуточным узлом) или кубические (с двумя промежуточными узлами);
упорядоченная сетка является более предпочтительной, чем произвольная;
прямоугольная сетка с 4 узлами более предпочтительна, чем сетка с треугольными элементами;
сетка прямоугольных элементов с промежуточными узлами имеет ту же точность, что и сетка прямоугольных элементов с 4 узлами;
прямоугольная сетка с 8 узлами является более предпочтительной, чем сетка треугольных элементов с промежуточными узлами, несмотря на большой размер прямоугольных элементов; аппроксимация смещений кубическим полиномом не требует более мелкой сетки.
Поскольку точность расчета напрямую зависит от того, какие размеры имеет КЭ, то необходимо придерживаться следующих рекомендаций:
В тех местах, где ожидаются большие величины напряжений деформаций необходимо, чтобы сетка была более плотной, обычно такие места на заготовке соответствуют концентраторам напряжений на инструменте.
С другой стороны в местах, где не ожидается интенсивное течение металла и больших давлений сетка может иметь большие размеры КЭ.
В соответствие с требованиями /17/ при построении сетки для корректного описания геометрической модели размеры КЭ сетки должны быть минимум в три раза меньше чем наименьший концентратор напряжений на данном участке. Данное требование создает необходимость строить сетки с большим количеством КЭ при наличии небольших концентраторов напряжений, что значительно усложняет моделирование процессов листовой штамповки, где для дискретизации при объемном решении задачи по толщине заготовки необходимо строить более трех элементов при значительной поверхности заготовки.
При моделировании задач с объемным напряженным состоянием, например, пробивки (вырубки) или чеканки количество КЭ в сетки можно уменьшить введением локального сгущения сетки /17, 18/. При этом сгущение сетки должно быть осуществлено таким образом, чтобы размеры соседних конечных элементов не превышали друг друга более чем в два раза /14/.
На точность расчета влияет также форма КЭ. Так нежелательно использовать в сетке конечные элементы, имеющие один из размеров значительно больше и меньше других размеров /14/.
Очевидно, также и то, что чем больше число КЭ в сетке, тем дольше ЭВМ будет осуществлять вычисления. При этом с ростом числа КЭ будет расти и погрешность вычисления, связанная с погрешностью округления результатов расчета на ЭВМ. С другой стороны грубое описание исходной геометрической модели крупной сеткой тоже создает значительные ошибки. Следовательно, ошибка вычисления всегда будет присутствовать независимо от размера КЭ (рис. 25).
С другой стороны грубая сетка дает заниженный на 20-40% результат рассчитанных напряжений, что необходимо учитывать /22/.
Обычно при моделировании с помощью МКЭ поступают в соответствии с методом последовательного приближения: сначала осуществляют расчет на более грубой сетке, т.е. сетке с малым количеством КЭ, затем, получив предварительные расчеты, увеличивают количество конечных элементов и рассчитывают задачу снова, полученные данные анализируют, если разница, полученная в результате двух последних расчетов отличается менее чем на устраивающую исследователя погрешность, то для анализа результатов моделирования используют вариант с последней рассчитываемой сеткой.
Рисунок 25 – Иллюстрация к погрешности вычисления с помощью МКЭ:
Δ – ошибка; T – время расчета; h – размер ребра КЭ, применяемого для расчета