2.4 Задание типа кэ

Как отмечалось ранее основой для решения задач с помощью МКЭ является замена сплошного тела математической моделью, которая состоит из непересекающихся более простых КЭ.

Каждый КЭ описывается с помощью значений сплошной функции в узлах КЭ (степеней свободы). Поведение математической модели в целом зависит от поведения отдельных КЭ и их объединения в дискретную модель /14,16/.

Рассмотрим свойства (атрибуты) КЭ.

В зависимости от размерности исследуемой задачи и принимаемых допущений КЭ можно представить в виде /14, 16/:

• Одномерных элементов, имеющих форму линии, которые используются для описания поведения таких конструктивных элементов как стержни, балки и т.д. В задачах ОМД практически не используются, (рис. 22а).

а) б) в)

Рисунок 22 – типы КЭ в зависимости от размерности:

а – одномерные; б – двумерные; в – трехмерные

• Двухмерных элементов, имеющих треугольную или четырехугольную формы. Используются для описания плоских тел, у которых одно измерение значительно меньше двух других. Применяются для описания деформируемых тел листовой штамповки или для описания задач, которые можно упростить до уровня расчета в плоскости (рис. 22б).

• Трехмерных элементов, имеющих форму тетраэдров и гексаэдров. Используются для описания объемных тел, при описании большинства задач ОМД (рис. 22в).

Показанные на рисунке 22 элементы имеют прямолинейные ребра и описываются линейной функцией формы, поэтому не всегда достаточно точно описывают особенности поведения исследуемой функции. На рисунке 23 показана функция перемещений КЭ при заполнении радиусного участка гравюры штампа. Плоское ребро “мешает” точно описать геометрию штампа. Поэтому для описания апроксемирующей функции элемента (функции формы) используют полиномы более высоких степеней второй или третьей.

Рисунок 23 – Замена гравюры штампа на конечные элементы:

а – линейными КЭ; б – квадратичными КЭ.

Таким образом, в зависимости от используемой функции формы КЭ делятся на:

• Линейные, которые описываются полиномом 1 степени, при этом ребро образовано двумя узлами (рис. 24а).

• Квадратичные, которые описываются полиномом 2 степени, ребро образовано тремя узлами (рис. 24б).

• Кубические, которые описываются полиномом 3 степени, ребро образовано четырьмя узлами (рис. 24в).

а) б) в)

Рисунок 24 – Типы конечных элементов в зависимости от используемой функции формы: а – линейные; б – квадратичные; в – кубические

По расположению узловых точек элемента бывают обычные и вырожденные элементы. Вырожденные элементы это элементы, которые вследствие дискретизации приняли такую форму, у которой часть узлов совпала. Возникают такие элементы, как правило, в местах перехода от более крупной сетки к более мелкой и могут служить источниками неоднозначности и ошибок расчетов /14/.

Каждый КЭ обладает конечным количеством степеней свободы, которые определяют состояние элемента или физическое поле, которое описывает данный элемент. За счет общих степеней свободы в узлах соседних элементов осуществляется объединение КЭ в дискретную модель.

Каждый элемент обладает свойством материала. При описании свойств материала используются различные модели, рассмотренные ниже.

В зависимости от вида приложения (программы) и решаемых в нем задач могут использоваться различные типы КЭ. В ряде случаев КЭ могут содержать свойства нескольких более простых КЭ. Такие элементы называют макроэлементами, они позволяют описывать поведение текстурированных и композиционных материалов.