3.5. Теорія механічних коливань
Ця тема присвячена вивченню теорії малих коливань системи. В свою чергу поняття «малих коливань» зв'язане з основами теорії сталої рівноваги системи матеріальних точок. Для малих коливань системи обчислюються кінетична та потенціальна енергії системи, функція розсіювання. Для складання диференціальних рівнянь руху системи використовують рівняння Лагранжа в узагальнених координатах.
Докладно розглядається рух системи з одним ступенем свободи. У випадку вільних гармонічних коливань диференціальне рівняння має вигляд
Знаходиться та досліджується його рішення, вводиться поняття амплітуди та періоду коливань.
Якщо є сили опору, диференціальне рівняння
р
озв'язується
та досліджується для випадків
будуються графіки
одержаних
рухів.
Розглядаються вимушені коливання системи під дією змушуючих сил, які змінюються за гармонійним законом.
Диференціальне рівняння у цьому випадку має вигляд:
Знаходиться рішення цього рівняння, досліджуються інтеграли сталих та несталих вимушених коливань, залежність амплітуди сталих вимушених коливань та зсув фаз від частоти змушуючої сили. Розглядається явище резонансу.
Після вивчення теорії необхідно розв'язати задачу 21.
З
апитання
для самоперевірки
Дайте визначення сталого та несталого положення рівновага системи. Наведіть приклади.
Який вигляд мають наближені вирази для кінетичної та потенціальної енергії системи, яка рухається навколо положення сталої рівноваги?
Запишіть диференціальне рівняння малих коливань системи матеріальних точок з одним ступенем свободи.
Що називається вільними та вимушеними коливаннями?
Які коливання називаються вільними гармонічними коливаннями? Дайте визначеним амплітуди та періоду коливань.
Чим якісно відрізняються випадки вільних коливань при малому та великому опорі?
Що називається амплітудою, періодом, декрементом вільних коливань, які затухають, системи при малому опорі?
Як залежить амплітуда вимушених коливань та зсув фаз від частоти змушуючої сили? Поясніть графіки цих залежностей.
Що називається резонансом? Які умови резонансу? Який вигляд має інтеграл вимушених коливань у випадку резонансу?
3.6. Динаміка матеріальної точки змінної маси
Вивчення цієї теми починається з виводу узагальненого рівняння І.В.Мещерського для точки змінного складу
де
реактивні сили.
Досліджується окремий випадок, коли відбувається лише процес відкидання частин.
Як приклад вирішується перша задача К.Е.Ціолковського про рух ракети поза полем сил.
При дослідженні руху матеріальної точки змінної маси під дією сил розглядаються різні закони змінювання маси - лінійний та експоненціальний.
Р
озв'язується
друга задача К.Е.Ціолковського —
задача про
рух точки змінної
маси в однорідному полі сили тяжіння.
Запитання для самоперевірки
Запишіть узагальнене рівняння І.В.Мещерського для точки змінної маси.
В чому полягає перша задача К.Е.Ціолковського? Які висновки можна зробити з формули для максимальної швидкості ракети?
Які два закони змінювання маси точки розглядаються в динаміці точки змінної маси? Які висновки можна зробити у цих випадках?
Сформулюйте другу задачу К.Е.Ціолковського та її основні результати.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ