3.3. Динаміка твердого тіла

При вивченні цієї теми необхідно спочатку згадати першу та другу загальні теореми динаміки системи матеріальних точок, використовуючи які можна скласти диференціальні рівняння поступального руху тіла, обертання тіла навколо нерухомої осі, плоскопаралельного руху тіла:

В иписуючи відповідні початкові умови та інтегруючи диференціальні рівняння, одержують рівняння руху тіл.

Розглядаючи обертання твердого тіла навколо нерухомої точки, одержують формули для кінетичних моментів твердого тіла відносно координатних осей та кінетичної енергії тіла. Використовуючи теорему про змінювання кінетичного моменту та лему про локальну похідну, одержують диференціальні рівняння руху тіла — динамічні рівняння Ейлера. До цих рівнянь додають кінетичні рівняння Ейлера.

Розв'язується важлива технічна задача про визначення реакцій підшипників при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі.

Вводяться поняття статичних та динамічних реакцій, розглядаються умови, за яких динамічні реакції дорівнюють нулю.

У випадку обертання тіла навколо нерухомої точки досліджується регулярна прецесія тіла, вводиться поняття гіроскопічного моменту, розглядається елементарна теорія гіроскопа та технічні застосування цієї теорії.

Наприкінці цієї теми одержують диференціальні рівняння руху тіла в загальному випадку.

Розв'язати задачі 17, 18 з розділу індивідуальних завдань.

З апитання для самоперевірки

1. Запишіть диференціальні рівняння поступального руху тіла.

2. Який вид має диференціальне рівняння обертання тіла навколо нерухомої осі?

3. Що називається фізичним та математичним маятниками?

4. Як записати диференціальне рівняння плоскопаралельного руху тіла?

5. Запишіть формули, за якими обчислюються кінетичні моменти твердого тіла з нерухомою точкою відносно координатних осей та кінетична енергія тіла. Запишіть ці ж формули для головних осей.

6. Які рівняння називаються динамічними рівняннями Ейлера? Запишіть їх.

7. Що називається статичними та динамічними реакціями підшипників?

8. Яке тіло називається збалансованим? Які умови повинні виконуватись для того, щоб тіло було збалансованим?

9. Що називається регулярною прецесією тіла з нерухомою точкою?

10. Які сили повинні діяти на тіло, щоб воно здійснювало регулярну прецесію?

11. Що називається гіроскопічним моментом і як він обчислюється?

12. Запишіть диференціальні рівняння довільного руху тіла.

3.4. Аналітична динаміка

Вводимо поняття даламберової сили інерції та формулюємо принцип Даламбера для однієї матеріальної точки, що дозволяє записати дифе­ренціальне рівняння її руху у формі рівняння статики:

Потім розглядається система матеріальних точок та принцип Даламбера для неї:

Використовуючи теореми динаміки про рух центру мас та момент кількості руху, обчислюють головний вектор та головний момент даламберових сил інерції:

Для розв'язання задач необхідно вміти обчислювати сили інерції твердого тіла в найпростіших випадках його руху.

Для вивчення цієї теми необхідно спочатку згадати теорему Лагранжа–Остроградського («Принцип можливих переміщень») про умови рівноваги системи сил, прикладених до системи матеріальних точок, та принцип Даламбера, вивчені раніше. На підставі цих принципів одержується загальне рівняння динаміки - рівняння Даламбера-Лагранжа:

Потім переходять до вивчення рівнянь руху системи в узагальнених координатах. Вводяться поняття узагальнених координат, узагальнених швидкостей, узагальнених сил. Обчислюється кінетична енергія системи в узагальнених координатах. Для системи з S ступенями свободи, використовуючи загальне рівняння динаміки, одержують рівняння Лагранжа в узагальнених координатах

Якщо сили, які діють на систему матеріальних точок, потенціальні, рівняння Лагранжа можна записати у формі:

д е функція Лагранжа.

П ісля вивчення цієї теми розв'язуються задачі 19, 20. Причому задачу 19 необхідно розв'язати двома способами, застосовуючи загальне рівняння динаміки та рівняння Лагранжа в узагальнених координатах.

Запитання для самоперевірки

1. Що називається даламберовою силою інерції матеріальної точки?

2. Сформулюйте принцип Даламбера для однієї матеріальної точки та системи матеріальних точок.

3. Як обчислити даламберові сили інерції тіла при поступальному русі, обертанні навколо нерухомої осі, плоскопаралельному русі тіла?

4. Сформулюйте і запишіть принцип Даламбера-Лагранжа (загальне рівняння динаміки).

5. Дайте визначення узагальнених координат, узагальнених швидкостей, узагальнених сил. Наведіть приклади.

6. Як обчислюються узагальнені сили у випадку потенціальних сил?

7. Які умови рівноваги системи сил в узагальнених координатах?

8. Запишіть рівняння Лагранжа в узагальнених координатах для системи з S ступенями свободи. Запишіть те ж саме рівняння у випадку потенціальних сил.

9. Виведіть диференціальні рівняння поступального руху тіла, обертання навколо нерухомої осі, плоскопаралельного руху тіла з рівняння Лагранжа в узагальнених координатах.