Динаміка

3.1. Динаміка матеріальної точки

При вивченні цієї теми необхідно згадати закони динаміки - закони Ньютона. На підставі другого закону Ньютона записується диференціальне рівняння руху точки у векторній формі.

Вводяться початкові умови руху, вивчаються диференціальні рівняння руху точки та початкові умови в різних системах координат: декартовій, циліндричній, природній. Треба звернути увагу на окремий випадок руху точ­ки - прямолінійний рух та вивчити методи інтегрування диференціального рівняння, які зводяться до визначення первісної.

Розглядаючи рух точки в неінерціальній системі відліку, треба повторити теорему Коріоліса, потім записати диференціальне рівняння руху точки в неінерціальній системі відліку, вводячи поняття переносної та коріолісової сил інерції, вивчити умови відносного спокою точки. Формулюються та доводяться необхідні та достатні умови інерціальності рухомої системи відліку та досліджується вплив обертання Землі на рівновагу точки поблизу поверхні Землі — задача про висок та рух точки – задача про падіння точки на Землю.

При вивченні цієї теми необхідно розв'язати задачі 11, 12 індивідуального завдання.

Запитання для самоперевірки

1. Як записати основне диференціальне рівняння руху точки в інерціальній системі відліку?

2. Сформулюйте першу та другу задачі динаміки точки. Як вони вирішуються?

3. Що розуміють під початковими умовами в задачах динаміки?

4. Запишіть диференціальне рівняння руху точки та початкові умови в декартових та природних координатах.

5. Як записується диференціальне рівняння руху точки в неінерціальній системі відліку?

6. Поясніть значення переносної та коріолісової сил інерції.

7. В чому полягають умови спокою точки в неінерціальній системі відліку?

8. Як повинна рухатись рухома система відліку для того, щоб вона була інерціальною?

9. Як впливає обертання Землі на рівновагу та рух точки?

3.2. Загальні теореми динаміки матеріальної системи

При вивченні цієї теми необхідно спочатку засвоїти основні поняття динаміки системи: центр мас, полярний, осьовий та відцентровий моменти інерції, їх властивості. Звернути увагу на теорему Гюйгенса, головні осі інерції, еліпсоїд інерції.

В ивчення загальних теорем динаміки починають з теореми про змінювання кількості руху системи точок

та одержаного з неї закону руху центру мас

Після вивчення законів збереження можна перейти до розв'язання задач 13, 14.

У другій теоремі динаміки - теоремі про змінювання кінетичного мо менту, вводячи поняття моменту кількості руху матеріальної точки, системи матеріальних точок, твердого тіла відносно полюса та осі, знаходять залежність між моментом кількості руху системи та силами, які на неї діють.

В інерціальній системі відліку

К інетичний момент твердого тіла, який обертається навколо нерухомої осі, відносно осі обертання обчислюють за формулою

Р озглядаючи закони збереження, одержують результат, який має широке застосування в техніці

Цю ж теорему формулюють в неінерціальній системі відліку з ураху­ванням переносної та коріолісової сил інерції. Якщо ввести до розглядання спеціальну неінерціальну систему відліку - систему Кеніга, тоді теорема про змінювання кінетичного моменту буде формулюватися так само, як і в інерціальній, якщо за полюс вибрати центр мас:

Перш ніж перейти до вивчення теореми про змінювання кінетичної енергії — третьої теореми динаміки, треба згадати поняття елементарної роботи сили, системи сил, вивчити нову характеристику сили - роботу сили на кінцевому переміщенні, методи її обчислення та навчитись обчислювати роботу у випадку потенціальних сил.

Далі вводиться поняття кінетичної енергії точки, системи точок, твердого тіла. Формулюється та доводиться теорема Кеніга, обчислюється кінетична енергія твердого тіла в різних випадках його руху:

поступальний рух твердого тіла;

обертання навколо нерухомої осі;

плоскопаралельний рух тіла.

Зв'язок кінетичної енергії з силовими факторами приводить до теореми про змінювання кінетичної енергії системи:

Я кщо система точок являє собою абсолютно тверде тіло, в правих частинах дорівнюють нулю силові фактори, зв'язані з внутрішніми силами:

Д ля потенціальних сил

закон збереження повної механічної енергії системи.

Після вивчення другої та третьої теорем динаміки необхідно розв'язати задачі 15, 16.

Запитання для самоперевірки

1. Що називається центром мас системи матеріальних точок твердого тіла? Як обчислюються координати центру мас?

2. Дайте визначення моментів інерції точки, системи точок, твердого тіла відносно полюса та осі.

3. Що називається відцентровим моментом інерції твердого тіла та як вводиться поняття головних осей інерції твердого тіла?

4. Як обчислюється момент інерції тіла відносно довільної осі, якщо відомі осьові та відцентрові моменти інерції відносно координатних осей?

5. Запишіть формулу Гюйгенса.

6. Що називається кількістю руху точки, системи точок, твердого тіла?

7. Сформулюйте теорему про змінювання кількості руху точки, системи точок.

8. В чому полягає закон руху центру мас системи точок?

9. Що називається моментом кількості руху точки відносно полюса, осі? Як обчислюється кінетичний момент матеріальної точки відносно осі? Коли він дорівнює нулю?

10. Сформулюйте теорему про змінювання моменту кількості руху точки та системи точок в інерціальній системі відліку.

11. Як обчислюється кінетичний момент твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, відносно осі обертання?

12. Як формулюється теорема про змінювання кінетичного моменту в неінерціальній системі, в системі Кеніга?

13. Що називається роботою сили на кінцевому переміщенні?

14. Які сили називаються потенціальними? Наведіть приклади потенціальних сил.

15. Як обчислюється робота потенціальних сил?

16. Що називається кінетичною енергією точки, системи точок?

17. В чому полягає теорема Кеніга?

18. Запишіть формули, за якими обчислюється кінетична енергія тіла в найпростіших випадках руху.

19. Сформулюйте теорему про змінювання кінетичної енергії точки в диференціальній та інтегральній формах, також у випадку потенціальних сил.

20. Як формулюється теорема про змінювання кінетичної енергії для системи матеріальних точок, твердого тіла?