ПЕРЕДМОВА

При вивченні курсу теоретичної механіки, крім глибокого знання теорії, необхідно набувати уміння розв'язувати задачі.

Цей посібник має на меті допомогти студентам, які вивчають курс механіки. Наголос зроблено на індивідуальному підході до навчання.

Посібник містить перелік основних тем, які відображають зміст дисципліни, контрольні запитання по кожній темі, методичні вказівки щодо вивченню предмета та набір типових задач за темами з прикладами їх розв'язання.

При вивченні курсу кожний студент розв'язує свій варіант з набору задач, який видається викладачем навчальної групи.

Цей посібник може бути використаний студентами різних спеціальностей. Перелік задач, котрі необхідно розв'язати студенту, визначається програмою курсу кожної спеціальності. У розділах «Кінематика» та «Динаміка» пропонуються задачі підвищеної складності для тих студентів, які бажають досконаліше вивчити курс теоретичної механіки.

При написанні посібника був використаний «Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике» під редакцією проф. Яблонського О.О. (М.:Высшая школа, 1985).

_______________________

Розділ 1

Кінематика

Вивчення цього розділу починається з розглядання руху однієї точки.

1.1. Кінематика точки

Вводяться способи задания руху точки (векторний, координатний, при­родній), поняття швидкості та прискорення точки.

При різних способах задания руху обчислюються величини та напрям­ки швидкості та прискорення точки.

При декартовому способі задання

Якщо рух точки заданий природнім способом, тоді

Для визначення w_T, w_n та ρ при декартовому способі задания руху ви­користовують формули

Дослідження руху точки та визначення її кінематичних характеристик розглядається у задачі 1 контрольного завдання.

Запитання для самоперевірки

1. В чому полягають векторний, координатний, природній способи задання руху точки?

2. Що називається траєкторією точки, як визначити її рівняння у формі залежності між координатами, коли відомі рівняння руху точки в декартових координатах?

3. Що називається швидкістю точки? Як вона спрямована по відношенню до траєкторії точки?

4. Як обчислюється швидкість точки при координатному та природному способах задання руху точки?

1. Що називається прискоренням точки?

5. Запишіть формули, за якими обчислюється прискорення точки при заданні руху її декартовими та циліндричними координатами.

6. Як обчислюється прискорення точки при природному способі за­ дання руху?

7. Що називається дотичним та нормальним прискоренням точки, як вони обчислюються, що характеризують?

9. Дайте визначення рівномірного та рівнозмінного руху точки. 10. Як обчислити дотичне, нормальне прискорення та радіус кривизни

при декартовому способі задання руху точки?

1.2. Кінематика твердого тіла

Вивчення кінематики твердого тіла починається з ознайомлення зі способами задання руху твердого тіла. Вводяться кути Ейлера та складаються рівняння руху тіла в загальному випадку, а потім в окремих випадках руху тіла: поступальному, обертанні навколо нерухомої осі, обертанні навколо нерухомої точки, плоскопаралельному русі. Досліджуються загальні закономірності розподілу швидкостей точок тіла. Вводиться поняття кутової швидкості тіла, кутового прискорення тіла, виводять формулу Ейлера для швидкостей точок тіла та формулу Рівальса для прискорень точок тіла.

Докладно розглядаються розподіли швидкостей та прискорень точок тіла в окремих випадках руху тіла.

При поступальному русі твердого тіла достатньо визначити траєкторію, швидкість та прискорення будь-якої однієї точки тіла, кутова швидкість та кутове прискорення тіла дорівнюють нулю.

При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі кутова швидкість та кутове прискорення тіла спрямовані вздовж осі обертання.

Швидкість та прискорення кожної точки тіла обчислюються за формулами

де

^{кутова швидкі}

^{кутове прискорення тіла.}

Величини швидкості та прискорення обчислюються так:

де d— відстань від точки до осі обертання.

Після вивчення теорії необхідно перейти до розв'язання задачі 2.

При вивченні плоскопаралельного руху тіла слід звернути увагу на те, що кінематичні характеристики кожної точки тіла визначаються за формулами Ейлера та Рівальса:

Кутова швидкість та кутове прискорення тіла при такому русі спрямовані перпендикулярно площині перерізу тіла, паралельного напрямній площині.

За певних умов в перерізі тіла, паралельному напрямній площині, може існувати точка, швидкість якої на дану мить дорівнює нулю. Цю точку називають миттєвим центром швидкостей, і при розв'язанні задач на визначення швидкостей точок її приймають за полюс, тим самим формула Ейлера спрощується:

де С — миттєвий центр швидкостей. Вивчаються методи побудови миттєвого центра швидкостей та практичні рекомендації до розв'язання конкретних задач.

При розв'язанні задач на визначення прискорення довільної точки тіла рекомендується за полюс вибирати точку тіла, прискорення якої або дане, або може бути визначене за умовами задачі.

Після вивчення теорії розв'язуються задачі 3, 4 та 5 з розділу індивідуальних завдань.

При дослідженні обертання твердого тіла навколо нерухомої точки для визначення швидкостей та прискорень точок тіла користуються формулами Ейлера та Рівальса, вибираючи за полюс нерухому точку О. Тоді ці формули спрощуються:

У цьому випадку руху кутова швидкість тіла змінює свій напрямок, тому

^{взагалі кажучи, не співпадають}

Запитання для самоперевірки

1. У чому полягає спосіб Ейлера задания руху твердого тіла?

2. Який рух тіла називається поступальним? Запишіть рівняння поступального руху тіла.

3. Який рух тіла називається обертанням навколо нерухомої осі? Запишіть рівняння руху тіла.

4. Який рух тіла називається плоскопаралельним рухом? Запишіть рівняння руху тіла.

5. Визначте обертання твердого тіла навколо нерухомої точки та запишіть рівняння цього руху тіла.

6. Сформулюйте теорему Ейлера про проекції швидкостей точок тіла та її висновки.

7. Яке значення має «миттєвий рух» тіла? Що таке миттєво– поступальний рух?

8. Що називається додатковою швидкістю точки тіла? Які властивості вона має?

9. Що називається кутовою швидкістю тіла? Чи залежить вона від вибору полюса?

10. Запишіть формулу Ейлера для швидкостей точок тіла.

11. Які інваріанти має поле швидкостей?

12. Сформулюйте умови, за яких «миттєвий рух» тіла буде миттєвопоступальним, миттєвим обертанням, миттєво-гвинтовим.

13. Що називається кутовим прискоренням тіла?

14. Запишіть формулу Рівальса для прискорення довільної точки тіла. Що таке доосьове та обертальне прискорення точки?

15. Яку властивість мають швидкості та прискорення точок тіла при його поступальному русі?

16. Як обчислюються швидкість та прискорення точки тіла при його обертанні навколо нерухомої осі?

17. Як за рівнянням обертання тіла визначити кутову швидкість та кутове прискорення тіла?

18. Визначте рівномірне та рівноперемінне обертання тіла. Запишіть закони змінювання кута чистого обертання в цих випадках.

19. Як обчислити швидкість та прискорення точки тіла при його плоскопаралельному русі?

20. Що називається миттєвим центром швидкостей? Які існують методи його визначення?

21. Як обчислюються кутова швидкість та кутове прискорення тіла за рівняннями руху при плоскопаралельному русі? Що можна сказати про напрямки цих векторів?

22. Як визначити швидкість будь-якої точки тіла та кутову швидкість тіла при плоскопаралельному русі тіла, якщо відомі швидкість якої-небудь точки тіла та положення миттєвого центру швидкостей?

23. Який рух тіла називається обертанням навколо нерухомої точки? Як обчислюються швидкість та прискорення будь-якої точки тіла?

24. Як спрямовані кутова швидкість та кутове прискорення тіла при його обертанні навколо нерухомої точки?