Введение в математический анализ
Задача 10
Найти область определения функции и исследовать эту функцию на четность (нечетность):
10.1.
а)
;
б)
10.6.
10.10.
а)
;
б)
Задача 11
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. В пункте з) использовать эквивалентность бесконечно малых.
.
Задача 12
Исследовать функцию на непрерывность, классифицировать точки разрыва. В пунктах а) и в) сделать чертеж.
Задача 13
Схематически построить график функции f(x) , удовлетворяющей условиям:
13.1.
13.2.
13.4.
, f(x)
убывающая
функция.
13.5.
13.7.
13.8.
13.9.
.
13.10.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Задача 14
Найти производные первого порядка заданных функций:
,
Задача 15
Найти
для заданных функций:
Задача 16
Используя геометрический или физический смысл производной, решить задачу:
а) В какой точке касательная к параболе у = – х2 + 7х – 10 перпендикулярна прямой х + у -1 = 0? Составить уравнение касательной. Сделать чертеж.
б) Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за время Т = 8 сек. Найти угловую скорость w в момент t = 32 сек после начала движения.
а) При каком значении независимой переменной касательные к кривым у = х 2 и у = х 3 параллельны? Найти уравнения этих касательных. Сделать чертеж.
б) Тело массой т = 4 двигается прямолинейно по закону X = t2+ t+1. Определить кинетическую энергию тела в момент времени t = 5.
а) Под каким углом график функции у =
пересекает прямую х = 2.
б) Радиус шара изменяется со скоростью v . С какой скоростью изменяется объем и поверхность шара?
а) Под каким углом пересекаются кривые х2 – у2 = 5 и
?
Указание: под углом между кривыми
понимают угол между касательными к
этим кривым в точке их пересечения.
б)
Угол , на который
поворачивается колесо за t
сек., равен
,
где
положительные константы . Найти угловую
скорость движения
колеса. Через сколько времени от начала
движения угловая скорость будет равна
нулю ?
а) Показать, что отрезок касательной к астроиде
,
заключенный между осями координат ,
имеет постоянную длину, равную
.
б) В какой точке эллипса 16х2 + 9у2 = 400 ордината убывает с той же скоростью, с какой возрастает абсцисса?
а) Какой угол образует с прямой у = 2х - 3 касательная к параболе у = х2-3х+5, проведенная в точке (2, 3)? Найти уравнение этой касательной. Сделать чертеж.
б)
Барометрическое давление Р
изменяется с высотой h
по закону
,
где Р0 - нормальное давление, с
– некоторая постоянная. На высоте 5540 м
давление равно половине нормального.
Установите зависимость скорости
изменения давления от высоты.
а) Найти уравнение касательной и нормали в точке (2; 2) к кривой, заданной параметрически уравнениями
.
б) По оси абсцисс двигаются две точки, имеющие законы движения х=100 +5t и х = 0,5t , где t>0. С какой скоростью удаляются точки друг от друга в момент встречи?
а) Найти уравнение касательной к кривой у = х2 + 2х - 1 в точке её пересечения с параболой у = 2х 2 . Сделать чертеж.
б) Показать, что если тело движется по закону S = a e-t + b e-t , то его ускорение численно равно пройденному пути.
а) Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у= х 2 + 3х - 10 образует угол 1350 с положительным направлением оси ОХ. Найти уравнение этой касательной. Сделать чертеж.
б) Точка двигается прямолинейно по закону s = t3 - 16t2 + 64t . Определить: 1) в какие моменты времени точка находилась в начале координат; 2) в какие моменты времени её скорость была равна нулю?
а) Написать уравнение касательной к кривой
в точке (-
,
0).
б)
Точка двигается по гиперболе
так, что ее абсцисса растет равномерно
со скоростью 1 единица в секунду. С какой
скоростью изменяется ее ордината, когда
точка проходит положение (5;2)?
Задача 17
Исследовать функцию и построить ее график:
17.1.
|
17.2. у= |
17.3. у=
|
17.4.
|
17.5.
|
17.6.
|
17.7.
|
17.8.
|
17.9.
|
17.10. |
.
