3. Теория вероятностЕй

Цель работы: решение задач на вероятность событий и на случайные величины.

Литература: [3, гл. ХХ; 5, ч. I, гл. 1-5, ч. II, гл. 6-8].

Теория вероятностей — раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым однородным случайным событиям. Под событием понимают возможный результат испытания или наблюдения. Событие — не происшествие, а лишь возможный исход опыта, явления или наблюдения (например, событиями будут «появление туза при извлечении одной карты из колоды», «выпадение герба при одном броске монеты» и т.д.). События, которые в данных условиях могут произойти или не произойти, называют случайными. Такие события будем обозначать А, В, …; А₁, А₂, …. Событие, которое в данных условиях обязательно происходит, называют достоверным. Его будем обозначать через Е. Аналогично понимают невозможное событие U. Под событием, противоположным событию А, понимают событие, состоящее в том, что событие А не наступило. Его обозначают через . Например, А — изделие первого сорта. Тогда — изделие не первого сорта.

Определение 1. Несколько событий А, В, … называют несовместными, если появление одного из них исключает появление остальных. В противном случае события называют совместными. Например, события А и — несовместные события.

Определение 2. События А, В, …, С называют единственно возможными в данном опыте, если при выполнении этого опыта обязательно наступит хотя бы одно из этих событий.

Говорят также, что такие события образуют полную группу событий. Например, при одном броске игральной кости единственно возможными событиями будут: появление на верхней грани кости одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков.

Определение 3. Несколько событий называют равновозможными, если не существует никаких объективных причин, вследствие которых одно из них могло бы наступать чаще, чем любое другое.

Например, появление любой карты из колоды в 36 карт при извлечении одной — равновозможные события (если колода карт тщательно перемешана).

Замечание. Равновозможные, несовместные события, образующие полную группу, называют иногда «элементарными событиями», или «исходами», или «шансами», или «случаями».

Определение 4. Те из событий полной группы, при наступлении которых наступает и событие А, называют благоприятствующими событию А.

Пример 19. Бросается игральная кость. Полная группа возможных событий (исходов) состоит из шести:

А₁ — на верхней грани кости появилась единица,

А₂ — на верхней грани кости появилась двойка,

А₃ — на верхней грани кости появилась тройка,

А₄ — на верхней грани кости появилась четверка,

А₅ — на верхней грани кости появилась пятерка,

А₆ — на верхней грани кости появилась шестерка.

Рассматриваем событие А — на верхней грани появилось число, кратное трем. Из указанных шести событий благоприятствующими для события А будут А₃ и А₆.

Рассматриваем событие В — на верхней грани появилось нечетное число. Благоприятствующими для В будут А₁, А₃, А₅.

3.1. Определение вероятности события а

Вероятность — числовая характеристика возможности появления события. Для события А будем обозначать ее через Р(А).

Определение 5. Вероятностью события А называют отношение числа событий, благоприятствующих событию А, к общему числу всех единственно возможных, равновозможных, несовместных исходов.

В обозначениях

(28)

где	n	—	общее число событий (исходов);
	m	—	число исходов, благоприятствующих событию А (m ≤ n).

Замечание. n — число простейших событий, образующих полную группу событий.

Из этого определения вытекает, что Р(U) = 0, Р(Е) = 1, 0 < P(А) < 1. Поэтому во всех случаях 0 ≤ Р(А ) ≤ 1.

Пример 20. Определить вероятность появления герба при одном броске монеты.

Решение. Событие, заключающееся в появлении герба, обозначим через А. Найдем Р(А). Подразумевается, что монета бросается на гладкую поверхность. Поэтому возможных исходов при броске монеты два, т.е. n = 2. Благоприятствующих исходов — один, т.е. m = 1. Поэтому .

Аналогично можно найти вероятность появления шестерки при одном броске игральной кости ( ), вероятность появления туза при извлечении одной карты из колоды в 36 карт ( ) и т.д.

Определение 6 называют классическим определением вероятности. Кроме него используют: геометрическое, аксиоматическое и частоту события А.

Определение 7. Частотой события А (обозначают Р*(А)) называют отношение числа появлений события А к общему числу проведенных опытов.

Для подсчета частоты Р^*(А) по формуле необходимо провести n^* опытов, т.е. частота находится экспериментально после проведения n^* опытов. Частоту используют для приближенного вычисления вероятности события А в одном испытании, которую трудно найти. Так как, в силу теоремы Бернулли, при n^* → + , Р^*(А) → Р(А), то на практике в качестве Р(А) берут Р*(А).

Для подсчета m и n в определении 5 часто используют формулы комбинаторики, принцип умножения и принцип сложения.