I. Методические рекомендации к контрольной работе № 6

Цель работы: изучение числовых и функциональных рядов, понятий сходимости, области сходимости и применения рядов.

Литература: [2, гл. IV, V, VI; 3, гл. XVI, XVII].

2. Ряды

Определение. Рядом называют выражение вида

(14)

где	u1, u2, …	—	члены ряда;
	un	—	общий (n-й) член ряда;
	Sn = u1 + u2 +…+ un	—	n-я частичная сумма ряда.

Определение. Если члены ряда числа, то ряд называют числовым, если функции, то — функциональным.

2.1. Числовые ряды

Основной вопрос для числовых рядов — это вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Определение. Если существует конечный предел

(15)

то числовой ряд (14) называют сходящимся, а число S его суммой. В противном случае ряд называют расходящимся.

Так, например, для ряда 1 + 1 +…+1 + …

S_n = 1+ 1 + …+ 1 = n и ,

т.е. не существует. Поэтому этот ряд — расходящийся.

В таблице 7 приводятся примеры числовых рядов и характер их сходимости.

Таблица 7

Полезные примеры числовых рядов

Ряд	Поведение ряда
1.	расходится
2.	расходится
3. Геометрический ряд	сходится при , расходится при
4. Простой гармонический ряд	расходится
5. Гармонический ряд степени р	сходится при р > 1, расходится при р ≤ 1.

Замечание. В случае сходимости, сумму числового ряда можно найти приближенно по формуле: .

При этом абсолютная погрешность δ оценивается по формуле

или по признаку Лейбница (табл. 8, п. 6).

Кроме определения (15) для исследования числового ряда на сходимость используют специальные признаки. Для этого числовые ряды подразделяют на знакоположительные (все члены положительные) и знакопеременные (среди членов ряда есть как положительные, так и отрицательные), частным случаем которых являются знакочередующиеся ряды.

В таблице 8 даны достаточные признаки сходимости и расходимости числовых рядов.

Таблица 8

Достаточные признаки сходимости и расходимости числовых рядов

Название признака	Какие ряды можно исследовать	Условия		Поведение ряда (14)
1. Достаточный признак расходимости	любые			расходится
Замечание. Для всякого сходящегося ряда , но это условие является только необходимым условием сходимости
2. Сравнения. Для этого признака по ряду (14) выбирают еще один знакоположительный ряд (15)	знакоположительные	1) 2)	сходится расходится
3. Асимптотический	знакоположительные		(14) и (15) сходятся или расходятся одновременно
4. Даламбера	знакоположительные		1) 0 ≤ l < 1, сходится, 2) l > 1, расходится, 3) l = 1 неизвестно
5. Интегральный Коши (полагаем f(n) = un)	знакоположительные	— существует — не существует	сходится расходится
6. Лейбница — знакочередующийся ряд	знакочередующиеся		сходится и его сумма S < a1

Пример 12 (к задачам № 291-300, п. 1). Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. Это знакоположительный ряд. Воспользуемся признаком Даламбера (см. табл. 8, п. 4). Для этого находим:

,

Следовательно, , поэтому заданный ряд сходится.

Пример 13 (к задачам № 291-300, п. 2). Исследовать на сходимость ряд

(16)

Решение. Очевидно, что данный ряд знакочередующийся с

, , , …, , …

Исследовать его на сходимость можно с помощью признака Лейбница. Для этого следует проверить выполнение двух условий (см. табл. 8, п.6). Для нашего ряда это дает:

1) ;

2) .

Как видно, оба условия признака Лейбница выполнены.

Поэтому ряд (16) сходится.

Для исследования знакопеременного ряда (14) на условную и абсолютную сходимость образуют знакоположительный ряд

(17)

Определение. Если ряд (14) сходится и сходится ряд (17), тогда ряд (14) называют абсолютно сходящимся. Если же ряд (14) сходится, а ряд (17) расходится, то говорят, что ряд (14) условно сходится.

Пример 14 (к задачам № 290-300, п. 2). Исследовать на абсолютную сходимость ряд (16).

Решение. В примере 13 мы выяснили, что ряд (16) сходится. Составим из него ряд, состоящий из абсолютных величин членов ряда (16). Это будет знакоположительный ряд:

(18)

Его можно исследовать либо с помощью интегрального признака сходимости, либо с помощью асимптотического признака сравнения. В первом случае (см. табл. 8, п. 5) для функции рассматриваем несобственный интеграл:

,

т.е. интеграл не существует.

Это означает, что ряд (18) расходится и, значит, ряд (16) сходится только условно.

Замечание. Если ряд (16) исследовать на сходимость по признаку сравнения, то в качестве ряда сравнения выбирается простой гармонический ряд

.