2.2. Функциональные ряды

Определение. Функциональным называют ряд

, (19)

где u₁(x), u₂(x),… — заданные функции.

Наиболее важными из функциональных рядов являются степенные и тригонометрические.

Определение 1. Значение х = х₀, при котором ряд (19) сходится, называют точкой сходимости этого ряда.

Определение 2. Множество всех точек сходимости ряда (19) называют его областью сходимости.

Ряд (19) имеет смысл только в точках области сходимости. Для степенного ряда

(20)

область сходимости состоит из интервала сходимости (–R; R), куда могут включаться (после дополнительного исследования) и граничные точки x = –R, x = R. Радиус сходимости R определяется по формуле

Пример 15 (к задачам № 301-310). Найти область сходимости степенного ряда

. (21)

Решение. Очевидно, что . Тогда .

Поэтому , т.е. R = 2.

Интервал (–2; 2) — интервал сходимости ряда (21). Исследуем поведение этого ряда на концах интервала, т.е. при х = –2 и х = 2.

При х = –2 получаем из формулы (21) ряд

.

Как уже известно (см. пример 13), этот ряд сходится. Следовательно, значение х = –2 принадлежит области сходимости ряда (2).

При х = 2 из формулы (21) получим ряд .

Этот ряд (см. пример 14) расходится. Точка х = 2 не принадлежит области сходимости ряда (21).

Таким образом, областью сходимости ряда (21) будет промежуток [–2; 2).

Функциональные ряды широко используют в приближенных вычислениях. Для применения рядов надо научиться представлять функцию в виде ряда (степенного или тригонометрического) или разлагать функцию в ряд.

Для разложения в степенной ряд (20) используется формула Маклорена:

(22)

Например, для функции f(x) = e^x имеем , , …, , …

Поэтому , , ,…, , …

Подставляя все это в формулу (22), получаем разложение функции е^х в степенной ряд

Область сходимости этого ряда находится как область сходимости степенного ряда (см. пример 15). Для этого ряда областью сходимости будет интервал (–∞; +∞). Аналогично получаются разложения в ряд для других простейших функций [2, гл. V, § 18, п. 18.2; 3, гл. XVI, § 17]. Для получения разложений в степенной ряд более сложных функций можно использовать опять же формулу (22), арифметические операции, замену, дифференцирование и интегрирование.

Пример 16. Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

Решение. Так как , то разложим в степенной ряд только функцию . Для этого возьмем известное разложение [2, см. формулу (18.7) при α = –1] для х ( –1; 1).

Заменяя здесь х на х⁴, получаем разложение

; х ( –1; 1).

Тогда

Это разложение справедливо для х ( –1; 1). Таким образом,

, где х ( –1; 1) (23)

Для разложения 2π-периодических функций в тригонометрический ряд используется формула [2, гл. VI, § 20, формула (20.12); 3, гл. XVII, § 1.2]:

, (24)

где

(25)

(26)

(27)

Определение. Рядом Фурье называют ряд (стоящий в правой части (34))

коэффициенты которого определяют по формулам (25-27).

Замечание. При разложении в ряд (24) полезно помнить, что:

1) sinnπ = 0, cosnπ = (–1)ⁿ при n = 1, 2, 3, …;

2)

Пример 17 (к задачам № 321-330). Разложить в ряд Фурье функцию

f (x) = 5|x| для x  (–; ).

Решение. Данную функцию надо разложить в ряд (24). Найдем коэффициенты этого ряда по формулам (25-27).

1) ,

т.е. .

2)

=

Следовательно,

3) — нечетная функция.

Следовательно, .

Подставляя найденные коэффициенты а₀, а_n, b_n в (24), получим

или

,

где

Функциональные ряды имеют большое практическое значение. В контрольную работу № 6 включен один пример на применение степенных рядов — пример на приближенное вычисление определенного интеграла.

Пример 18 (к задачам № 321-330). С точностью δ = 10^–3 вычислить определенный интеграл .

Решение. Вычислим интеграл с помощью степенных рядов. Разложим подинтегральную функцию в степенной ряд (см. формулу (23))

для х (–1; 1).

Тогда интеграл

Так как интервал интегрирования [0; 0,8] принадлежит области сходимости ряда (23), то ряд можно почленно проинтегрировать. В результате получим

.

Теперь надо подсчитать сумму полученного числового ряда с точностью δ = 10^–3 = 0,001. Для этого выбираем тот член ряда, который меньше δ, и отбрасываем все последующие члены ряда вместе с выбранным. В силу признака Лейбница, сумма отброшенного ряда будет меньше 0,001. Вычисляем:

Следовательно, для подсчета суммы ряда надо выбрать всего два члена. В результате получим

Замечание. Для большей точности промежуточные вычисления проводились с одной резервной цифрой.