1.3. Решение некоторых дифференциальных уравнений второго порядка с помощью понижения порядка

Д.у. второго порядка можно представить в виде

или

.

Общее решение такого уравнения содержит две произвольные постоянные С₁ и С₂. Для выделения частного решения из общего требуются два условия. Эти условия могут накладываться в одной точке или в двух. В первом случае их называют начальными, во втором — граничными.

Начальные условия для д.у. 2-го порядка имеют вид:

, ,

где — заданные числа.

Одним из способов решения д.у. второго и более высоких порядков является понижение порядка. Этого добиваются либо с помощью интегрирования, либо с помощью замены. Рассмотрим примеры уравнений в таблице 2.

Таблица 2

Решение некоторых д.у. второго порядка

Вид уравнения	Рекомендации по решению уравнения
1.	Умножая обе части на dx, интегрируя и добавляя произвольную постоянную С1, получаем уравнение вида (табл. 1, п. 2). Повторяя указанные действия с константой С2, получаем общее решение. Замечание. Аналогично решаются уравнения вида ,
2. (в уравнении отсутствует у)	Заменяя где а приводим к д.у. 1-го порядка относительно z. Если удастся найти его решение то, заменяя получаем д.у. вида (2). Замечание. Аналогично с помощью замены понижают на k единиц порядок д.у.
3. (в уравнении отсутствует х)	Порядок этого уравнения можно понизить на единицу с помощью замены где Тогда и из данного уравнения получают дифф. уравнение 1-го порядка . Если — общее решение этого уравнения, то, заменяя получим д.у. первого порядка с разделяющимися переменными: из которого находим общее решение д.у.

Пример 5. Решить д.у.: .

Решение. Умножая обе части этого уравнения на dx (см. табл. 2, п. 1) и интегрируя, получим

Снова умножаем обе части полученного уравнения на dx и интегрируем

, или — общее решение.

Пример 6 (к задачам № 261-270, п. 1). Решить д.у.

Решение. Уравнение 2-го порядка не содержит у (см. табл. 2, п. 2). Пусть где — новая неизвестная функция. Тогда Из данного уравнения получаем , или . Это линейное д.у. 1-го порядка (см. табл. 1, п. 3) решается, так же как д.у. в примере 4. Его общим решением будет функция .

Заменяя , получим д.у. . Умножая обе части этого уравнения на dx и интегрируя (не забывая про С₂), получим

Так как (см. пример 10 из источника [4])

,

то .

Эта функция и будет общим решением данного д.у.

Пример 7 (к задачам № 261-270, п. 2). Решить д.у. второго порядка:

Решение. В уравнении отсутствует х. Поэтому заменяем , где . Тогда , и из уравнения получаем

,

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

, .

Для потенцирования заменим С₁ на :

, ,

Так как , то

Разделяем переменные и получаем

, ,

Следовательно, .

Ответ. Общее решение .