3.5. Случайные величины
Определение. Случайной называют величину, которая может принять то или иное (но только одно) значение из заданного множества, причем заранее неизвестно какое.
Те значения, которые может принимать случайная величина, называют возможными значениями.
Случайные величины будем обозначать через Х, У, …, а их возможные значения — соответственно через х, у, … или хi, уi, ….
Символом Р(Х = х) обозначается вероятность того, что случайная величина Х приняла возможное значение х. Аналогично понимаются символы Р(Х < x), P(a ≤ X < b) и т.д.
Случайные величины подразделяют на дискретные (принимающие отдельные «изолированные» значения) и непрерывные (возможные значения которых заполняют один или несколько интервалов). Случайные величины описывают с помощью закона распределения.
Определение. Законом распределения случайной величины называют всякое соотношение, устанавливающее связь между ее возможными значениями и вероятностями принятия этих значений.
Для дискретной случайной величины законом распределения будет таблица (ряд распределения) или функция распределения, для непрерывной случайной величины — плотность или функция распределения [3, гл. ХХ, § 12-14; 5, ч. II, гл. 6-7].
Задачи № 351-360 относятся к разделу «Случайные величины».
Пример
32. Дана функция
.
Определить, при каком значении α эта функция будет плотностью (дифференциальной функцией) распределения некоторой случайной величины Х, и найти для нее:
1) вероятность попадания на интервал
[2; 4], т.е.
;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию Д(Х) и среднее квадратическое ожидание σ(Х);
4) функцию распределения (интегральную функцию распределения) F(x).
Решение.
Для определения α следует воспользоваться
следующим свойством плотности
.
Подставим сюда
данную функцию. Для этого разобьем
интервал интегрирования на два, в
соответствии с тем, как задана функция
у.
(37)
Вычислим несобственный интеграл [4, формула (21)]:
В силу (37), имеем
.
Следовательно, плотностью распределения случайной величины Х будет функция
1) Найдем
по формуле
:
.
2) Математическое ожидание М(Х) находим по формуле
Для наших условий:
.
Таким образом М(Х) = 1,5.
3) Дисперсию Д(Х) находим по формуле
.
Для наших условий
.
Таким образом,
.
Тогда среднее квадратическое отклонение
.
4) Функцию распределения F(х) находим, используя ее связь с плотностью
а) Для x < 1 имеем
б) Для х ≥ 1 имеем
Таким образом,
Ответ:
Список РекомендуемЫх источников
1. Марусич, А.И. Математика : методические рекомендации по организации самостоятельной работы и контрольные задания для студентов 1 и 2 курсов инженерных специальностей заочной формы обучения / А.И. Марусич, И.А. Батманова, Л.Б. Рыбина и др. — Кострома : КГСХА, 2002. — 38с.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. — Ч. 2. — М. : Айрис-пресс, 2002. — 256 с. : ил.
3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. — Т. 2. — М. : Наука, 1985. — 560 с.
4. Марусич, А.И. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ 3 и 4 по математике для студентов инженерных специальностей заочной формы обучения / А.И. Марусич. — Кострома : КГСХА, 2003. — 52 с.
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М. : Высшая школа, 1977. — 479 с.