3.4. Повторение испытаний

Пусть производится конечное число n последовательных независимых испытаний, в каждом из которых может произойти определенное событие А с вероятностью Р(А) = р или не произойти с вероятностью . При этом требуется найти вероятность того, что событие А наступит ровно k раз. Эту вероятность обозначают через P_n(k) и находят с помощью теорем и формул Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа и т.д.

Задачи № 336, 338-340 можно решать с помощью теоремы Бернулли [3, гл. ХХ, § 8 или 5, ч. I, гл. 5, § 1].

Пример 28. Для освещения аудитории установлены 4 независимо работающих светильника. Вероятность безотказной работы в течение определенного времени для каждого светильника равна 0,9. Найти вероятность того, что в течение указанного времени будут работать: 1) все светильники; 2) ровно два светильника; 3) три или четыре светильника; 4) хотя бы один светильник — событие В.

Решение. Решим задачу с помощью теоремы Бернулли:

(34)

где	Pn(k)	—	вероятность появления события А в n испытаниях ровно k раз;
	n	—	число независимых испытаний (опытов);
	р = Р(А)	—	вероятность появления события А в одном испытании;
		—	вероятность непоявления события в одном испытании.

В нашем случае р = 0,9, q = 0,1, n = 4, а k будет разным для каждого из случаев.

1) k = 4, .

2) k = 2, .

3) k = 3 или k = 4. Тогда .

Так как , а по формуле (34)

,

то .

4) Для подсчета вероятности события В воспользуемся противоположным событием (ни один светильник из четырех не работает). . Тогда .

Ответ. 1) 0,6561; 2) 0,0486; 3) 0,9477; 4) 0,9999.

Следует помнить, что при больших n вычисление P_n(k) по формуле Бернулли сложно. В этом случае используют одну из асимптотических формул: Муавра-Лапласа или Пуассона. Формулу Муавра-Лапласа:

(35)

где , — используют при больших n и .

Значения φ(х) находят по таблице приложения 1. При этом учитывают, что φ(–х) = φ(х).

При больших n и малых р используют формулу Пуассона:

(36)

где λ = np.

Пример 29. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 200 новорожденных окажется 105 мальчиков.

Решение. У нас: n = 200, k = 105, p = 0,515, q = 0,485. Требуется найти Р₂₀₀(105). Так как n велико, а

то используем формулу (35).

По формуле (35)

По приложению 1 φ(0,28) = 0,3836. Следовательно,

Пример 30. Завод выпускает 0,5% нестандартных деталей. Найти вероятность того, что в партии из 1000 деталей окажется десять нестандартных.

Решение. Имеется n = 1000 деталей. Вероятность появления нестандартной детали р = 0,005, а непоявления q = 0,995. Требуется найти Р₁₀₀₀(10). Так как n велико, а р мало, то используем формулу (36). Так как λ = np = 1000∙0,005 = 5, то

Задачи № 341-350 решаются с помощью интегральной теоремы Лапласа [5, ч. I, гл. 5, § 3].

Теорема (интегральная теорема Лапласа). Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью Р(А) = р, где 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что событие А появится от k₁ до k₂ раз, определяется по формуле

где , , ;

— функция Лапласа, значения которой находятся из справочной таблицы (Ф(x) — нечетная функция).

Пример 31. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Найти вероятность того, что среди 900 выбранных клемм окажется от 790 до 820 годных.

Решение. Событие А — «выбранная клемма годная». Тогда Р(А) = 0,9 (90% означает ), т.е. p = 0,9; q = 1 – 0,9 = 0,1.

В нашем случае: n = 900, k₁ = 790, k₂ = 820. Поэтому

Находим

Тогда

По таблице значений функции Лапласа (приложение 2) находим:

; .

Следовательно,