2.2 Нечіткі множини й лінгвістичні змінні

Термін «нечітка множина» (fuzzy sef) був вперше введений у вже згадуваній класичній роботі Л.А. Заде. Перш ніж дати строге тлумачення цього поняття, звернемося до наступного приклада. Допустимо, що об'єктом нашого дослідження є множина «дорослих людей», до якої формально можна віднести всіх людей, що досягли повноліття (18 років). Якщо позначити через змінну х (об'єктну змінну) «вік людини», а функцію μ(х) задати в такий спосіб:

то множина «дорослих людей» А може бути задана за допомогою виразу

А = {X|μ(x)=1,xЄX}

де X – множина всіх можливих значень х. Інакше кажучи, множина А утворить такі «об'єкти» («елементи»), для яких зазначена вище функція μ(х), називана функцією приналежності (membership function), приймає значення 1 (див. верхню галузь графіка, виділеного суцільною лінією, на рис. 2.1). Навпроти, ті значення об'єктної змінної х Є X, для яких μ(х) = 0, не належать множині А.

Рис. 2.1. Графічне подання множини «дорослих людей»

У той же час очевидно, що двозначна логіка (типу «так» - «ні»), обумовлена функцією приналежності μ(х):X → {0;1}, не враховує можливого розкиду думок різних суб'єктів щодо границь досліджуваної множини А, впливу чисто біологічних факторів, національних особливостей і т.п. Тому більш природним є завдання функції приналежності у вигляді деякої безперервної залежності (пунктирна крива на рис. 2.1), визначальний плавний перехід з одного крайнього стану в інше (тобто від приналежності елементів розглянутій множині до неприналежності їй. У цьому випадку функція приналежності μ(x): X → [0;l] ставить у відповідність кожному елементу х Є Х число μ(х) з інтервалу [0;1], що описує ступінь приналежності елемента х множині А. Задана в такий спосіб множина пар

А = {(х, μ(х))| хЄХ} (2.1)

називається нечіткою (або розмитою) множиною.

Перелічимо основні властивості нечітких множин. Будемо називати носієм А множину тих елементів х, для яких μ(х) додатна:

Носій (А) = {x Є X | μ(х) > 0}. (2.2)

Крапка переходу А - це елемент х множини А, для якого μ(x) = 0.5,

α - зріз нечіткої множини (А_α) - множина елементів x, для яких функція приналежності μ(х) приймає значення не менше заданого числа α, (0 < α < 1):

А_α={х Є Х| μ(х) ≥α }. (2.3)

Висота нечіткої множини А знаходиться як точна верхня грань (максимум) її функції приналежності:

Висота (2.4)

Якщо висота нечіткої множини дорівнює 1, то така множина називається нормалізованою. У тому випадку, коли висота нечіткої множини А менше 1 (така множина називається субнормальною), можна здійснити перехід до нормалізованої множини шляхом розподілу її функції приналежності μ(х) на висоту .

Якщо носій нечіткої множини А складається з єдиної крапки х, то така множина називається однокрапковою (singleton). Дану однокрапкову множину звичайно записують у вигляді

A = μ|x, (2.5)

де μ - ступінь приналежності х множині А. Якщо носій А складається з кінцевого числа елементів, то для запису такої дискретної множини використовується вираз

A = μ₁|x₁+ μ₂|x₂+…+ μ_n|x_n

або , де числа (i = 1, 2, …, п) - ступінь приналежності елементів х, множині А. Зрозуміло, що знак плюс в (2.6) позначає об'єднання, а не арифметичне підсумовування. Звичайну (чітку) дискретну множину при такій формі запису можна представити у вигляді

A = 1/x₁ + 1/x₂ +…+ 1/x_n ,

або

Можливий і табличний спосіб завдання нечіткої множини А. Наприклад, таблиця x_i 14 16 18 20 22

μ_i 0.1 0.3 0.5 0.8 1.0

позначає, що носій А складається з 5 елементів: х₁ = 14, х₂ = 16, х₃ = 18, х₄ = 20, х₅ = 22, ступень приналежності яких множині А рівні відповідно 0.1; 0.3; 0.5; 0.8 і 1.0.

Якщо носій нечіткої множини А складається з нескінченного числа крапок, наприклад, являє собою деякий інтервал (а, b) на числовій осі х, то функція приналежності μ(х) звичайно задається графічно або у вигляді аналітичної залежності. Розглянемо наступний приклад. Допустимо, що для непрямого виміру швидкості обертання вала навантаженого електропривода використовується вихідна напруга генератора постійного струму. Відоме значення цієї напруги: х = 5 В. Крім того, відомо, що помилка такого виміру становить ±1 В. Тоді перехід від чіткого значення х = 5 до нечіткої множини X = «приблизно 5» здійснюється в такий спосіб (рис. 2.2). Функція приналежності μ(х), наведена на рис. 2.2, в. описується виразом

Рис. 2.2. Побудова функції приналежності

Представлений на рис. 2.2, а - в процес переходу від чіткого (тобто обмірюваного) значення х = 5 до його нечіткої інтерпретації х = «приблизно 5» називається фазифікацією (fuzzification).

Питання про те, як вибирається (або задається) у кожному конкретному випадку функція приналежності μ(х) і який вона має сенс, залишається в значній мірі суперечливим і мало вивченим. Найпоширенішим є думка, що μ(х) може розглядатися як «суб'єктивна ймовірність» або як «коефіцієнт упевненості» [12] експерта в тому, що елемент х належить множини А.

Одним із ключових понять нечіткої логіки є поняття лінгвістичної змінної. Суть даного поняття складається в тому, що конкретні значення числової змінної х звичайно піддаються суб'єктивній оцінці людиною, причому результат такої оцінки виражається природною мовою. Так. змінна «Зріст (висота) людини» може характеризуватися одним з наступних термів (terms), тобто стислих словесних описів: «Маленький», «Невисокий», «Середнього росту», «Високий». Інша змінна «Швидкість руху автомобіля» може бути «Малою», «Середньою», «Великою» і т.п. Кожний з наведених тут термів може розглядатися як символ (label) деякої нечіткої підмножини в складі повної множини значень х. Змінні, значеннями яких є терми (слова, фрази, пропозиції), виражені природною мовою, називають лінгвістичними змінними (linguistic variables).

Задати нечітку підмножину А_i, що відповідає певному (і-му) терму (значенню) лінгвістичної змінної, – це значить задати область визначення числовий змінної х і функцію приналежності елемента х підмножині А_і. Розглянемо як приклад лінгвістичну змінну «Яскравість». Будемо думати, що різні значення фізичної змінної х (яскравість, у кд/м²) можуть бути охарактеризовані набором з 5 нечітких підмножин (значень лінгвістичної змінної): «Дуже темно», «Темно», «Середньо», «Світло», «Дуже світло».

На рис. 2.3 показані функції приналежності для кожної з цих підмножин.

Рис. 2.3. Лінгвістична змінна «Яскравість»

Допустимо, що фактичне значення яскравості дорівнює 5,5 кд/м². Тоді, відповідно до рис. 2.3, це значення відноситься одночасно до двох термів (підмножинам) - «Середньо» і «Світле» - зі ступенями приналежності μ_{середне} (5,5) = 0,75 і μ_світле (5,5) = 0,25 відповідно.