3 Вопрос. Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами.

Введем понятие независимости случайных величин.

Если рассматривать не одну, а две или более случайных величин (системы случайных величин), то необходимо знать, изменяется или не изменяется закон распределения одной из них в зависимости от того, какое значение принимает другая случайная величина.

Если закон распределения одной случайной величины не зависит от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины, то такие случайные величины называются независимыми в совокупности.

Если закон распределения одной случайной величины зависит от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины, то такие случайные величины называются зависимыми в совокупности.

Например, Вы купили два лотерейных билета различных выпусков. Пусть Х - размер выигрыша на первый билет, a Y - размер выигрыша на второй билет. Случайные величины X и Y-независимые. В самом деле, если на первый билет выпал выигрыш, то закон распределения Y не изменится. Но если купленные лотерейные билеты одного и того же выпуска, то X и Y являются зависимыми случайными величинами.

Пусть случайная величина X принимает значения: x₁,x₂,..., x_n с вероятностями p₁, р₂, ..., р_n, а случайная величина Y принимает значения у₁, у₂.., у_m с вероятностями q₁, q₂,..,q_m.

Определим некоторые операции над случайными величинами.

1. Произведение случайной величины X на постоянную величину с есть случайная величина сХ, которая принимает значения cx₁, cx₂, ...,сх_n с такими же вероятностями, что и случайная величина X.

2. Квадрат случайной величины X, т.е. X² - это случайная величина, которая принимает свои значения x₁²,x²₂,...,x_n² с такими же вероятностями, что и случайная величина X.

3. Сумма (разность) случайных величин X±Y - это новая случайная величина, которая принимает все значения вида x_i±y_j (i=l,2,...,n; j=l,2, ...,m) с вероятностями p_i q_j

4. Произведение случайных величин X*Y- это новая случайная величина, которая принимает все значения вида x_i*y_j (i=l,2,...,n; j=l,2, ...,m) с вероятностями p_iq_j.

4 Вопрос. Числовые характеристики дсв. Ожидаемое значение дискретной случайной величины.

Числовыми характеристиками СВ называются числовые параметры, выражающие в сжатой форме наиболее общие, существенные свойства СВ. К простейшим числовым характеристикам относятся математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Среднее значение вероятностного распределения случайной величины является мерой центральной тенденции распределения. Это мера, которая объединяет как значения случайной величины, так и их вероятности. Среднее значение есть взвешенная средняя всех возможных значений случайной величины и их вероятностей, роль весов играют вероятности.

Средняя вероятностного распределения называется ожидаемым значением случайной величины или математическим ожиданием. Причина такого названия состоит в том, что это есть среднее значение случайной величины, следовательно, это есть оценка, которую мы ожидаем получить.

Математическое ожидание дискретной случайной величины X равно сумме всех значений случайной величины, умноженных на значения их вероятностей:

Предположим, что Вы подбрасываете монету. Если выпадет герб, то Вы выиграете одно очко, если цифра, - проигрываете очко. Чему равен Ваш ожидаемый выигрыш? Интуитивно понятно, что Вы имеете равные шансы как выиграть, так и проиграть одну и ту же сумму очков, и, следовательно, в среднем ожидаемый выигрыш будет равен нулю. Ваш выигрыш в этой игре - случайная величина и мы можем вычислить ожидаемое значение, используя вышеприведенную формулу: М(Х)=1*1/2+(-1)*1/2=0. Следовательно, определение ожидаемого значения случайной величины согласуется с нашей интуицией.

Ожидаемое значение может не являться одним из значений случайной величины.

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной: М(с)=с

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. М(сХ)=сМ(Х), где с- постоянная величина.

3. Математическое ожидание суммы (разности) конечного числа случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий, т.е. M(X Y)=M(X) M(Y)

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(XY)=M(X)M(Y)

5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число с, то ее математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число с, т.е.

М(Х с)=М(Х) с

Следствие. Математическое ожидание отклонения случайной величины X от ее математического ожидания равно нулю, т.е. М[Х-М(Х)]=0

6. Математическое ожидание среднего арифметического значения одинаково распределенных взаимно независимых¹ случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин, т.е. М(Х)=М(Х_i). Случайные величины называются одинаково распределенными, если они имеют одинаковые числовые характеристики.