54

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Кафедра прикладної математики

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З ДИСЦИПЛІНИ

«МАТЕМАТИЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ»

(навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей)

Затверджено

на засіданні Вченої ради інституту

протокол № від

Дніпропетровськ 2009

Конспект лекцій з дисципліни «Математичне програмування», призначений для студентів економічних спеціальностей /Викл.: Г.Г. Швачич, В.І. Христян, О.І. Христян –Дніпропетровськ, 2009,-54 с.

Викладені основні розділи «Лінійного програмування» в обсязі, необхідному для вивчення дисципліни студентами заочної форми навчання, наведені основна і додаткова література.

Призначено для студентів, заочної та очно - заочної форм навчання, які навчаються за економічними спеціальностями.

Друкується за авторською редакцією.

Укладачі: Г.Г.Швачич, проф.,

В.І. Христян, доц..,

О.І. Христян ст. викл.

Відповідальний за випуск: Ступак Ю.О.

Зміст

		Вступ	4
1.		Задача лінійного програмування. Постановка задачі.	5
1.	1.	Загальна постановки задачі	5
1.	2.	Симетрична форма постановки ЗЛП	6
1.	3.	Канонічні форми постановки ЗЛП	6
2.		Геометричний (графічний) метод розв’язку задачі лінійного програмування	9
2.	1.	Алгоритм рішення ЗЛП графічним методом	10
2.	2.	Особливості розв’язування ЗЛП графічним методом	14
2.	3.	Властивості рішень ЗЛП	15
2.	4.	Опорні плани ЗЛП	16
2.	5.	Геометрична інтерпретація опорних планів	17
3.		Симплексний метод розв’язування ЗЛП	17
3.	1.	Оптимальний план ЗЛП	19
3.	2.	Алгебра симплексного процесу при визначенні opt типу min	20
3.	3.	Алгебра симплексного процесу при визначенні оптимального розв’язку типу max	21
3.	4.	Умови збіжності симплексного процесу	22
4.		Метод штучного базису	26
5.		Транспортна задача	33
5.	1.	Особливості математичної моделі ТЗ	35
5.	2.	Метод потенціалів	35
5.	3.	Методи складання первісного опорного плану	38
6.		Елементи теорії подвійності	43
6.	1.	Основна нерівність теорії подвійності. ІІ теорема теорії подвійності. Двоїстий симплекс метод	47
7.		ЛІТЕРАТУРА	57

Дослідження операцій (ДО) – це наука, що займається розробкою й практичним впровадженням методів найбільш ефективного керування організаційними структурами. Математичне програмування – один з найважливіших розділів цієї науки.

Під словом «операції» тут розуміють сукупність дій, спрямованих на досягнення певної мети.

Метою дослідження операцій є кількісне обґрунтування прийнятих управлінських рішень.

Рішення, що є найбільш вигідним для всієї організації, називається оптимальним.

Рішення, що є оптимальним лише для деякого підрозділу, називається субоптимальним.

Основні етапи організаційного дослідження:

1. Постановка задачі.

2. Побудова математичної моделі.

3. Рішення економіко-математичної задачі.

4. Перевірка й коректування математичної моделі.

5. Реалізація знайденого рішення на практиці.

Найбільш типові задачі ДО:

1. Задачі керування запасами.

2. Задачі вибору маршруту.

3. Транспортні задачі.

4. Задачі масового обслуговування.

5. Комбінаторні задачі.

Задача планування виробництва

Постановка задачі

Деяке підприємство виготовляє два види книжкових шаф – А и В. Виробництво шаф обмежене наявністю високоякісних дощок і часом їхньої машинної обробки. Для виробництва однієї шафи типу А використовується 3 м³, а для однієї шафи типу В – 4 м³ дощок. Дане підприємство від своїх постачальників одержує 1700 м³ дощок у тиждень. Відомо, що для виготовлення однієї шафи А необхідно затратити 12 хв., а для однієї шафи В - 30 хв. машинного часу. Підприємство має 160 годин машинного часу в тиждень. Визначимо, скільки необхідно виготовити виробів видів А і В у тиждень, щоб отримати найбільший прибуток, якщо відомо, що одна шафа виду А приносить дві, а одна шафа виду В - чотири умовних грошових одиниці прибутку.

Сформулюємо задачу математично, тобто складемо її математичну модель.

Позначимо через х₁ і х₂ кількість виробів виду А і В відповідно, які виготовляє підприємство в тиждень. Тоді відповідно до умови задачі:

– умови невід’ємності.

Отже, завдання полягає в тім, щоб знайти такі значення х₁ і х₂, які задовольняли б умовам невід’ємності, системі обмежень і доставляли б максимум функції цілі F.

Досить істотно, що функція мети лінійна і обмеження задачі також лінійні, тобто задача буде вирішуватися в рамках класу задач лінійного програмування.

1. Задача лінійного програмування (злп). Постановки злп

1.1. Загальна постановка задачі (ззлп)

ЗЗЛП, представленою в довільній формі запису, називається задача, у якій необхідно визначити оптимум цільової функції

(1)

при наступних обмеженнях:

(2)

(3)

(4)

Тут а_ij; b_і; с_j – деякі коефіцієнти.

Функція (1) називається функцією цілі (мети), або лінійною формою. Співвідношення (2)–(4) є обмеженнями задачі. Умови (4) називаються умовами невід’ємності, що накладають на змінні.

Для рішення практичних задач частіше використовуються інші форми постановок ЗЛП, а саме симетрична і канонічні.

1. 2. Симетрична форма постановки злп

В подальшому викладанні теорії математичного програмування надзвичайно важливе місце займає симетрична форма постановки ЗЛП, при якій необхідно знайти максимум лінійної форми

(5)

при наступних обмеженнях

(6)

(7)

Відмітимо, що для симетричної форми запису ЗЛП характерна наявність тільки обмежень типу «≤».

1. 3. Канонічні форми постановки злп

ЗЛП, заданою в канонічній формі, називається задача, у якій необхідно знайти оптимум лінійної форми

(8)

при обмеженнях-рівностях:

(9)

(10)

Якщо цільова функція F досліджується на экстремум типу мінімум, то говорять, що задача задана в першій канонічній формі, якщо на экстремум типу максимум – у другий.

Визначення. Набір чисел , що задовольняє системі обмежень ЗЛП, називається планом ЗЛП.

Визначення. Набір чисел , що задовольняє не тільки системі обмежень ЗЛП, але й умовам невід’ємності, що накладаються на змінні, називається припустимим планом ЗЛП.

Визначення. Припустимий план , що доставляє экстремум лінійній формі, називається оптимальним планом ЗЛП.

Представлені три форми постановок ЗЛП є еквівалентними в тому розумінні, що після нескладних перетворень можна перейти від однієї до іншої. Для цієї мети необхідно вміти переходити від opt min до opt max і навпаки, від обмежень-нерівностей до обмежень-рівностей і навпаки.

Наступні два твердження дозволяють здійснювати перехід від однієї форми запису ЗЛП до іншої.

Твердження 1. Мінімум лінійної форми F дорівнює максимуму лінійної форми (-F), узятому із протилежним знаком, тобто

Т аке твердження досить просто довести, побудувавши графік функції однієї незалежної змінної (див. мал. 1).

Мал. 1

Твердження: Обмеження-нерівність вихідної задачі виду «≤» перетвориться в обмеження-рівність додаванням до його лівої частини додаткової (балансової) невід’ємної змінної, а обмеження-нерівність виду «≥» перетвориться в обмеження-рівність вирахуванням з його лівої частини додаткової (балансової) невід’ємної змінної.

Т

(11)

еорема. Усякому рішенню нерівності виду

відповідає цілком певне рішення рівності виду

(12)

І навпаки, кожному рішенню рівності (12) відповідає цілком певне рішення нерівності (11).

Доказ. Нехай – деяке рішення нерівності (11), тоді цілком очевидно, що буде виконуватися наступну нерівність

(13)

.

Позначимо різницю між правою й лівою частинами нерівності (13) через _n+1:

(14)

.

Співвідношення (14) можна записати у вигляді

(15)

З (15) витікає, що сукупність чисел є рішенням рівняння (12).

Таким чином, пряма частина теореми доведена, а зворотна частина доводиться аналогічно.

Приклад 1. Привести до першої канонічної форми ЗЛП

Задача сформульована в загальній постановці, тому що для симетричної форми характерна наявність тільки обмежень типу «≤».

У першій канонічній формі задача запишеться в такий спосіб

Приклад 2. Привести до першої канонічної форми ЗЛП

Мал. 2 Мал. 3

З малюнків 2, 3 видно, що для змінної х₁ виконується умова невід’ємності.

Замість змінної х₂ введемо нові змінні і по формулі

(16)

З урахуванням (16) з вихідної постановки ЗЛП можна виключити змінну х₂, і задача прийме вид

Увівши балансові змінні х₅  0 і х₆  0, запишемо задачу в першій канонічній формі.