Лекція 2 Тема 2 лінійні розгалужені електричні кола постійного току

2.1. Закони Кірхгофа

Розглянемо розрахункову схему заданого електричного кола (рис.2.1). Вона має три розгалуження і два вузли. У кожному розголуженні проходить струм визначеної сили. Розгалуження – це ділянка кола, що складається з послідовно з'єднаних елементів, включених між двома вузлами. У свою чергу, вузол – це точка, у якій сходяться не менш трьох розгалужень.

Кола, що подібні приведеному на рис.2.1, називаються розгалуженими. Розгалужені електричні кола розраховуються різними методами, в основу яких покладені закони Кірхгофа.

1-й закон Кірхгофа формулюється так: алгебраїчна сума сил струмів у вузлі дорівнює нулю, тобто

. (2.1)

Умовно приймають, що сили струмів, які входять у вузол, беруться зі знаком «+», а сили струмів, які виходять з вузла, беруться зі знаком «–».

Наприклад, для вузла а розрахункової схеми електричного кола, приведеної на рис.2.1, рівняння за 1-м законом Кірхгофа має такий вигляд:

I₁ + I₂ – I₃ = 0 .

2-й закон Кірхгофа формулюється так: у замкненому контурі електричного кола алгебраїчна сума е.р.с. дорівнює алгебраїчній сумі спадів напруг на опорах, що входять у цей контур, тобто

. (2.2)

Умовно приймають, що е.р.с. та сили струмів беруться зі знаком «+», якщо їх напрями збігаються з довільно обраним напрямом обходу контуру; якщо не збігаються – зі знаком «–».

Наприклад, для контуру а-d-b-с-а (рис.2.1), прийнявши напрям обходу за годинниковою стрілкою, маємо:

Е₁ + Е₂ = R₁I₁ – R₂I₂ .

Питання для самоконтролю

1. Що таке вузол розгалуженого електричного кола?

2. Що таке розгалуження розгалуженого електричного кола?

3. Приведіть приклад розрахункової схеми розгалуженого кола.

4. Сформулюйте 1-й закон Кірхгофа.

5. Запишіть математично 1-й закон Кірхгофа.

6. Що таке умовно позитивний напрям струму?

7. Коли умовно позитивний напрям струму є дійсним напрямом струму?

8. Позначте умовно позитивні напрями струмів на приведеній розрахунковій схемі (пункт 3) і запишіть рівняння за 1-м законом Кірхгофа для одного з вузлів.

9. Сформулюйте 2-й закон Кірхгофа.

10. Запишіть математично 2-й закон Кірхгофа.

11. Запишіть рівняння за 2-м законом Кірхгофа для одного з контурів приведеної розрахункової схеми (пункт 3).

12. Скільки незалежних рівнянь за 1-м законом Кірхгофа можна записати для розрахункової схеми розгалуженого електричного кола?

13. Скільки незалежних рівнянь за 2-м законом Кірхгофа можна записати для розрахункової схеми розгалуженого електричного кола?

2.2. Застосування законів Кірхгофа

для розрахунку розгалужених кіл

Для вирішення задач аналізу розгалужених електричних кіл за допомогою законів Кірхгофа необхідно скласти рівняння електричної рівноваги заданої розрахункової схеми кола в наступній послідовності:

1. вибрати довільно напрями струмів у всіх розгалуженнях схеми електричного кола;

2. скласти рівняння за 1-м законом Кірхгофа для вузлів схеми кола (кількість аналізованих вузлів повинне бути на один вузол менше, ніж сумарна кількість вузлів схеми кола);

3. вибрати напрями обходів усіх незалежних контурів схеми кола;

4. скласти рівняння за 2-м законом Кірхгофа для всіх незалежних контурів схеми кола;

5. вирішити отриману систему рівнянь.

Розглянемо застосування законів Кирхгофа на прикладі розрахункової схеми кола, приведеної на рис.2.2. Схема має шість розгалужень (m = 6) і чотири вузли (n = 4).

С кладаємо рівняння

за 1-м законом Кірхгофа

(кількість рівнянь становить

n – 1 = 3):

для вузла 1:

I₁ + I₆ – I₄ = 0 ;

для вузла 2:

I₂ + I₄ – I₅ = 0 ;

для вузла 3:

I₃ + I₅ – I₆ = 0 .

При складанні рівнянь за 2-м законом Кірхгофа необхідно враховувати, що рівняння повинні бути взаємно незалежними. Для цього контури необхідно вибирати так, щоб кожний контур (для якого складається рівняння) неможливо було одержати з контурів (для яких уже складені рівняння) шляхом видалення з них загальних розгалужень. Наприклад, контур 0–2–1–3–0 можна одержати з контурів 0–1–2–0 та 0–1–3–0 шляхом видалення з них загального розгалуження 0–1.

Усього рівнянь за 2-м законом Кірхгофа повинне бути m – n +1 = 3.

Вибираємо незалежні контури 0–1–3–0; 0–1–2–0 та 1–2–3–1. Складаємо для них рівняння за 2-м законом Кірхгофа, вибравши напрями обходів контурів за годинниковою стрілкою:

для контуру 0–1–3–0: R₁I₁ – R₆I₆ – R₃I₃ = Е₁ – Е₃ ;

для контуру 0–1–2–0: R₂I₂ – R₄I₄ – R₁I₁ = Е₂ – Е₁ ;

для контуру 1–2–3–1: R₄I₄ + R₅I₅ + R₆I₆ = 0 .

Таким чином, ми одержали шість рівнянь із шістьма невідомими: I₁, I₂, I₃, I₄, I₅ і I₆ . Спільне вирішення цих рівнянь дозволяє одержати значення сил струмів у всіх розгалуженнях схеми кола. Якщо при вирішенні рівнянь сила струму буде мати негативне значення, то це означає, що напрям струму на схемі кола необхідно замінити на протилежний.