Методические указания к выполнению контрольной работы №2

Первая задача (задачи 21-30) требует от студентов умения строить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и определять удлинения или укорочения брусьев.(1, тема 2.2, §§ 2.6-2.7,с.)

При работе бруса на растяжение и сжатие силы упругости в поперечных сечениях приводятся к одному внутреннему силовому фактору – продольной силе N. Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил оставленной части.

N_z=SF_{iz оставленной части} (2.1.)

Правило знаков: При растяжении N_Z – положительная,

При сжатии N_Z – отрицательная.

При растяжении и сжатии бруса в его поперечных сечениях возникают нормальные напряжения:

s=N/A (2.2.)

где A – площадь поперечного сечения;

При построении эпюры нормальных напряжений принимается то же правило знаков, что и для продольной силы.

Изменение длины бруса ( удлинение или укорочение) равно алгебраической сумме удлинений его отдельных участков и определяется по формуле Гука.

Δl=ΣΔl_i=Σ(N_i·l_i/E·A_i) (2.3.)

где N_i, l_i, A_i – соответственно продольная сила, длина, площадь сечения в пределах каждого участка бруса, E – модуль продольной упругости.

Последовательность решения задачи:

1. Разбить брус на участки, начиная со свободного конца. Границами участков являются точки приложения внешних сил и места изменения размеров поперечного сечения.

2. Определить методом сечений значение продольной силы для каждого участка (см. формулу 2.1.), построить эпюру «N». Проведя параллельно оси бруса нулевую линию эпюры, отложить перпендикулярно ей в масштабе полученные значения N(ординаты графика). Через концы ординат провести линии, проставить знаки и заштриховать эпюру линиями, параллельными ординатам.

3. Для построения эпюры нормальных напряжений определить значение напряжения σ в поперечных сечениях на каждом участке по формуле (2.2.). Эпюра σ на каждом участке изображается прямой, параллельной оси бруса.

4. Перемещение свободного конца определить как сумму удлинений (укорочений) участков бруса по формуле (2.3.).

Пример 3.

Для ступенчатого бруса построить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений и определить перемещение свободного конца, если материал бруса – сталь. Принять модуль Юнга E=2·10⁵ МПа.

Дано: F₁=30 кН =30000 Н, F₂ = 38кН = 38000Н, F₃ = 42кН = 42000Н,

A₁ = 1,9см² = 190мм², A₂ = 3,1см² = 310мм². l_I=0,3м, l_II=0,5м, l_III=0,1м, l_IV=0,4м, l_V=0,2м.

Решение.

1. Отмечаем участки, как показано на рис.2.1

2. Определяем значения продольной силы N на участках бруса:

N_I=0;

N_II=F₁=30кН=30000Н;

N_III=F₁=30кН=30000Н;

N_IV=30-38=-8кН=-8000Н;

N_V=F₁-F₂-F₃=30-38-42=-50кН=-50000Н;

Строим эпюру «N».

3. Вычисляем значения нормальных напряжений на участках:

σ_I = N_I/A₁ = 0;

σ_II = N_II/A_I = 30000/190 = 158Н/мм² = 158 МПа;

σ_III = N_III/A₂ = 30000/310 = 96,8 Н/мм² = 96,8 МПа;

σ_IV = N_IV/A₂ = - 8000/310 = - 25,8 Н/мм² = - 25,8 МПа;

σ_V = N_V/A₂ = - 50000/310 = - 163 Н/мм² = - 163 МПа.

Строим эпюру «σ».

4. Определяем перемещение свободного конца:

Δl=ΣΔl_i = Δl_I+ Δl_II+ Δl_III+ Δl_IV+ Δl_V

Δl_I=0;

Δl_II= σ_II·l_II/E=158·500/2·10⁵=0,394мм;

Δl_III= σ_III·l_III/E=96,8·l00/2·l0⁵=0,0484мм;

Δl_IV= σ_IV·l_IV/E= - 25,8·400/2·10⁵= - 0,0516мм;

Δl_V= σ_V·l_V/E= - 163·200/2·10⁵= - 0,161мм.

Δl=0,394+0,0484-0,0516-0,161=0,2298мм.

Вывод: Удлинение бруса составит 0,2298мм.

F_F

F₂

F₃

z

l_I

l_II

l_III

l_IV

l_V

Эпюра "N"

30

+

8

-

50