5. Дифференциальное и интегральное исчисление действительных функций действительной переменной

В систем Mathematica функции обозначаются используя принятые обозначения только название функции начинается с прописной буквы. Аргументы функций записываются в квадратных скобках.  и. Примеры:

Sinx это sinx; Cosx  cosx; Tanx  tgx;

ArcSinx  arcsinx; Logx  lnx; Logb,x  log_bx; Expx  e^x;

Sqrtx  корень квадратный изx;

1. Вычисление пределов. Используемые функции

Limitf,xa - вычисляет предел функции f(x) в точке a;

Limitf,xInfinity - вычисляет предел функции f(x)когда x стремится к бесконечности;

Limitf,xa,Directiona - вычисляет предел справа функции f(x) в точке a;

Limitf,xa,Direction+a - вычисляет предел справа функции f(x) в точке a;

Пример 5.1. Вычислить пределы: a) ; b) ; c) ; d) .

Решение. a) Набираем Limit[ ,x0] и Shift+Enter.

In[1]:=Limit[ ,x>0]

Out[1]= .

b)Набираем Limit[ ,xInfinity] и Shift+Enter.

In[2]:=Limit[ ,xInfinity]

Out[2]= .

c)Набираем Limit[ ,x1,Direction1] иShift+Enter. In[3]:=Limit[ ,x1,Direction1]

Out[3]=0.

d) Набираем Limit[ ,x1,Direction+1] и Shift+Enter. In[4]:=Limit[ ,x+1,Direction+1]

Out[4]=1.

b) Построение графиков. Применяются функции.

Plotf,{x,a,b}  строит график f(x), a  x  b;

Plot{f₁,f₂,...},{x,a,b}  строит в одной и той же системе координат графики функций f₁(x), f₁(x),... a  x  b;

ListPlot[{x₁,y₁},{x₂,y₂},…] – строит точки с координатами (x₁,y₁),(x₂,y₂),…;

ParametricPlot[{f_x,f_y},{t,a,b}] – строит график параметрически заданной линии x=f_x(t), y=f_y(t), a  x  b;

ParametricPlot[{f_x,f_y},{g_x,g_y},{t,a,b}] – строит линии заданные параметрически x=f_x(t), y=f_z(t), a  x  b, şi x=g_x(t), y=g_y(t), axb;

ParametricPlot3D[{f_x,f_y,f_z},{t,a,b}] – строит график поверхности заданной параметрическими уравнениями x=f_x(t), y=f_y(t), z=f_z(t), a  x  b;

Пример 5.2. Построить графики функций заданных уравнениями:

a) , x1, 2; b) t0, 2.

Решение. a) Набираем

Plot[ , x,1, 2]Plot[ ]

и Shift+Enter.

In[5]:=Plot[ , x,1, 2]

Out[5]=график

b) Набираем Plot[ ] şi tastăm Shift+Enter. Se afişează

In[6]:= Plot[ ]

Out[6]=рисунок

2. Вычисление производной и дифференциала. Применяются функции

3. Df,x вычисляет производную функции f относительно переменной x ;

4. Df,{x,n}  вычисляет производную функции f n –го порядка относительно переменной x ;

Dtf  вычисляет дифференциал функции f;

Пример 5.3. Дана функция . Найти: a) производную df / dx; b) производную второго порядка d²f / ^dx2 ;

c) дифференциал df.

Решение. a) Набираем D[ArcTan[Log[x]]+Log[ArcTan[x]],x] и Shift+Enter.

In[7]:=D[ArcTan[Log[x]]+Log[ArcTan[x]],x]

Out[7]= .

В этом выражении означает .

b) Набираем D[ArcTan[Log[x]]+Log[ArcTan[x]],x,2] и Shift+Enter.

In[8]:=D[ArcTan[Log[x]]+Log[ArcTan[x]],x,2]

Out[8]= 

.

c) Набираем Dt[ArcTan[Log[x]]+Log[ArcTan[x]]] и Shift+Enter. In[9]:=Dt[ArcTan[Log[x]]+Log[ArcTan[x]]]

Out[9]= .

Dtx означаетdx.

d) Вычисление интегралов. Применяются функции:

Integratef,x вычисляет неопределенный интеграл от функции f(x) ;

Integratef,{x,a,b}  вычисляет определенный интеграл от функции f(x) на интервалеl [a,b], a  b;

Integratef,{x,a,Infinity} - вычисляет определенный интеграл от функции f(x) на интервале [a,);

NIntegratef,{x,a,b} - вычисляет численно определенный интеграл от функции f(x) на интервале [a,b];

…

Пример5.4. Вычислить неопределенные интегралы:

a) , b) .

Решение. a) Набираем Integrate  и Shift+Enter. In[10]:=Integrate 

Out[10]= .

b)Набираем Integrate  и Shift+Enter.

In[11]:=Integrate 

Out[11]= .

Exemplul 5.5. Вычислить точное значение определенного интеграла

.

Решение. Набираем Integrate  и Shift+Enter. In[12]:=Integrate 

Out[12]= .

Exemplul 5.6.Найти некоторое приближенное значение определенного интеграла .

Решение. Набираем NIntegrate  и Shift+Enter. In[13]:=NIntegrate 

Out[13]=1.11145.

Exemplul 5.7.Вычислить несобственные интегралы

a) ; b) .

Решение. a) Набираем Integrate  и Shift+Enter. In[14]:=Integrate 

Out[14]= .

b) Набираем и Shift+Enter.

Integral of does not converge on 1,.

Out15= .

Это означает что данный интеграл не был вычислен так как он расходится.

…

Примеры для индивидуального решения

E.5.1. Вычислить пределы из Matematica II, ex. 6.5.2, pag.110.

E.5.2. Построить на отрезке a,b выбранным согласно ОДЗ графики функций заданных уравнениями: 1) в прямоугольных координатах Matematica II,пр. 7.10.6, стр. 202, 2) параметрически Matematica III, пр. 3.16.1, стр.159.

E.5.3. Даны функции из Matematica II, ex. 7.10.1, pag. 191. 1) Найти производные первого порядка функций a) и b). 2) Найти дифференциал функции с). 3) Найти производные второго порядка функций d).

E.5.4. Вычислить неопределенные интегралы из Matematica II, ex. 8.6.5, pag. 240.

E.4.5. Для определенного интеграла заданного в Matematica II, ex. 9.5.1, pag. 267, найти: 1) его точное значение; 2) найти некоторое приближенное значение; 3) найти приближенное значение sкоторое содержит 10 значущих цифр.