4.1.2. Элементы теории пределов
Основные понятия
1. Постоянное число a называется пределом переменной x, если для любого сколь угодно малого числа > 0 можно указать такое значение х, что все последующие значения будут удовлетворять неравенству |x – a| < . Обозначение: lim x = a или x a.
Неравенство |x – a| < перепишем в виде – < x – a < или a – < x < a + . Интервал (a – ; a + ) называется окрестностью точки x = a радиуса .
2. Постоянное
число l
называется пределом
функции
y = f(x)
при x a,
если для всех значений х,
достаточно близких к а,
значение f(x)
сколь угодно мало отличается от l.
Обозначение:
или
.
(1)
Определение включает так же случаи, когда числа а и l будут заменены символами «», «–», «+».
В определении не требуется, чтобы функция y = f(x) была определена в самой точке x = a.
3. Если
существует предел (1) и x < a,
то его называют пределом
слева и
обозначают
.
(2)
Аналогично, если существует предел
(1) и x > a,
то его называют пределом
справа и
обозначают
.
(3)
Пределы (2) и (3) называются односторонними пределами.
Если a = 0, то вместо x 0 – 0 и x 0 + 0 пишут соответственно x –0 и x +0.
4. Связь односторонних пределов с пределом (1) выражается следующей теоремой: для того, чтобы существовал предел (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство f(a – 0) = f(a + 0).
5. Пусть
функция y = f(x)
определена в некоторой окрестности
точки x = х0,
кроме, быть может, самой точки х0.
Функция y = f(x)
называется бесконечно
малой при
x х0,
если
и называется бесконечно
большой при
x х0,
если
.
Здесь и в дальнейшем под символом х0 подразумевается либо точка а либо . Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции в случае односторонних пределов.
6. Если
(x)
– бесконечно малая функция при x х0
и (x) 0
при x х0,
то обратная величина
есть бесконечно
большая функция
при x х0.
И наоборот, если (x)
– бесконечно большая, то
– бесконечно
малая функция.
При
решении задач удобно пользоваться
следующей символической записью. Пусть
число a > 0,
тогда
,
,
,
,
,
.
Основные теоремы о действиях над функциями, имеющими конечный предел
7. 
.
8. 
.
9. 
при
.
10. 
,
где C
= const.
11. 
,
где Pn(x),
Qm(x)
– многочлены степени n
и m
соответственно.
12. Если
n
– натуральное число, то
.
13. Если
n
– натуральное число, то
.
14. Правило
замены переменной:
пусть требуется найти предел сложной
функции y = f((x))
при x → х0,
тогда если существует
и существует
,
то справедлива формула
.
Виды неопределенностей
15. Если
и
,
то частное
при x → х0
называется неопределенностью
вида
.
16. Если
и
,
то разность f(x) – g(x)
при x → х0
называется неопределенностью
вида ( – ),
а частное
при x → х0
называется неопределенностью
вида
.
17. Если и , то произведение f(x) g(x) при x → х0 называется неопределенностью вида (0 ).
Существуют и другие виды неопределенностей.
Замечательные пределы
18. Первый
замечательный предел:
.
Он используется для раскрытия
неопределенности вида
выражений, заданных тригонометрическими
функциями.
19. Некоторые следствия из первого замечательного предела:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
.
20. Второй
замечательный предел:
.
Он используется для раскрытия
неопределенности вида (1∞).
21. Некоторые следствия из второго замечательного предела:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва
22. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x = a и в самой точке x = a. Функция непрерывна в точке, если:
1) существует
;
2) существует f(a);
3) 
.
23. Точка x = a называется точкой разрыва функции y = f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе, но не является точкой непрерывности.
24. Если
одновременно существуют предел слева
и справа
и
,
но f(a – 0) f(a + 0),
то x = a
– точка
разрыва первого рода.
При этом разность f(a + 0) – f(a – 0) называется скачком функции y = f(x).
25. Если
существует
,
но не существует f(a),
то x = a
– точка
устранимого разрыва.
26. Если хотя бы один из односторонних пределов или равен бесконечности, то x = a – точка разрыва второго рода.