2. Требования к оформлению контрольной

РАБОТЫ

При выполнении контрольных работ следует придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, могут быть не зачтены и возвращены студенту для доработки.

1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть ясно написаны номер контрольной работы, название дисциплины, фамилия, имя, отчество студента, номер зачетной книжки, номер варианта, специальность и группа, в которой обучается студент. В конце работы следует проставить дату ее выполнения и расписаться.

3. Для студентов заочной формы обучения номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре номера зачетной книжки. Если номер зачетной книжки оканчивается цифрой «0», то студент выполняет 10-й вариант. Студенты-дневники получают номер варианта по усмотрению преподавателя.

4. В работу включаются все задачи строго по положенному варианту. Работа, содержащая не все задачи варианта или задачи не своего варианта, не зачитывается.

5. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие. Решения задач излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.

6. Если работа не зачтена или сделаны замечания по решению задач, следует выполнить работу над ошибками в той же тетради. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

3. Рекомендуемая литература для

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Баврин, И.И. Общий курс высшей математики / И.И. Баврин, В.Л. Матросов. – М.: Просвещение, 1995. – 464 с.

2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников. В 2-х ч. Ч. 1. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1986. – 304 с.; Ч. II. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.

3. Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. – 6-е изд. – М.: Наука, 1986. – 576 с.

4. Меркулов, В.А. Курс высшей математики. Избранные разделы: учеб. пособие / В.А. Меркулов. – Волгоград: ВолгГАСУ, 2004.

5. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике / В.П. Минорский. – М.: Наука, 1977. – 352 с.

6. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель, 2006. – 991 с.

4. Контрольная работа «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии»

4.1. Основные теоретические сведения

4.1.1. Элементы линейной алгебры

Матрицы

1. Числовой матрицей или просто матрицей называется прямоугольная таблица из чисел a_ij, состоящая из m строк и n столбцов и записывается в виде

.

Числа a_ij, где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n, называются элементами матрицы А. Первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца, в которых стоит элемент a_ij. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

В случае, если , матрица называется прямоугольной размера . Если , то матрица А называется матрицей-строкой:

При получим матрицу-столбец:

.

Если же , то матрица называется квадратной, а число n называется её порядком:

.

2. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний её угол. Побочной называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

3. Квадратная матрица порядка n, элементы главной диагонали которой равны единицы, а все остальные равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается

4. Матрица размера все элементы которой равны нулю называется нулевой и обозначается:

.

5. Две матрицы А и В равны (А = В), если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают:

a_ij = b_ij,

где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Соответствующими элементами матриц А и В называются элементы этих матриц, имеющие одинаковые номера строк и столбцов.

Линейные операции над матрицами

1. Суммой двух матриц А и В одинаковых порядков m и n называется матрица С = А + В тех же порядков m и n, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых:

c_ij = a_ij + b_ij,

где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

2. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков m и n называется матрица С = А – В тех же порядков m и n, элементы которой равны разностям соответствующих элементов слагаемых:

c_ij = a_ij – b_ij,

где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

3. Произведением матрицы А на действительное число  называется матрица В, элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы А на это число:

b_ij = a_ij,

где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

4. При  = –1 матрица А = (–1)А называется противоположной матрице А и обозначается –А.

Основные свойства линейных операций над матрицами

1. А + В = В + А. 2. (А + В) + С = А + (В + С).

3. ()А = (А) = (А). 4. (А + В) = А + В.

5. ( + )А = А + А. 6. А + О = А.

7. А + (–А) = О. 8. 0  А = А  0 = О.

Нелинейные операции над матрицами

1. Произведением матрицы А порядков m и n на матрицу В порядков n и k называется матрица С = АВ, каждый элемент c_ij которой равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

,

где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

2. Две квадратные матрицы А и В одного порядка называются перестановочными или коммутативными, если

АВ = ВА.

3. Целой положительной степенью А^k (k > 1) квадратной матрицы А называется произведение k матриц, равных А, т. е.

.

4. Если в матрице А размера строки заменить ее столбцами, то получим матрицу размера , которая называется транспонированной к матрице А и обозначается А^Т.

Основные свойства нелинейных операций над матрицами

1. А(ВС) = (АВ)С. 2. А(В + С) = АВ + АС.

3. (В + С)А = ВА + СА. 4. АЕ_n = E_nA = A.

5. A⁰ = E_n. 6. A¹ = A.

7. A^k  A^s = A^s  A^k = A^k + s. 8. (A^k)^s = A^ks.

9. (A^T)^T = A. 10. (A + B)^T = A^T + B^T.

11. (A)^T = A^T. 12. (AB)^T=B^TA^T.

Определители квадратных матриц

1. Определителем матрицы 2-го порядка называется число, равное

.

2. Определитель матрицы 3-го порядка – число, равное

.

3. В общем случае определителем матрицы порядка n называется число, вычисляемое по формуле:

 + .

4. Минором элемента a_ij определителя порядка n называется определитель порядка n – 1, полученный из данного вычеркиванием -ой строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij.

5. Алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы порядка n есть число, равное

,

где i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n.

Обратная матрица

1. Квадратная матрица порядка называется невырожденной, если

|A|  0.

В противном случае матрица А называется вырожденной.

2. Матрица А^–1 называется обратной для квадратной матрицы А порядка n, если

АА^–1 = А^–1А = E_n.

3. Если А – невырожденная матрица, то она имеет обратную матрицу, которая вычисляется по формуле

,

где A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij матрица А, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n.

Системы линейных уравнений

1. В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

(1)

Числа a_ij, где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n, называются коэффициентами системы, переменные х₁, х₂, …, x_n, подлежащие определению, называются неизвестными, числа b₁, b₂, …, b_m называются свободными членами.

2. Совокупность n чисел ₁, ₂, …, _n называется решением системы (1), если после замены неизвестных х₁, х₂, …, x_n, числами ₁, ₂, …, _n соответственно каждое из уравнений системы превращается в верное числовое равенство.

3. Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если не имеет ни одного решения.

4. Совместная система (1) называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если у неё существуют, по крайней мере, два различных решения.

5. Пусть k – какое-нибудь натуральное число, не превосходящее m и n. Выделим в этой матрице любые k строк и k столбцов. Тогда элементы, стоящие на пересечении выделенных k строк и k столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель этой квадратной матрицы называется определителем, порождённым матрицей A, или минором k-го порядка матрицы A.

6. Рангом матрицы A называется число, равное наивысшему порядку миноров этой матрицы, отличных от нуля. Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой матрицы считается равным нулю по определению. Ранг матрицы А обозначается символами r(A) или rang A.

7. Теорема Кронекера – Капелли. Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными вида (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы , т. е.

r(A) = r(B).

Из теоремы следует, что если r(A)  r(B), то система несовместна; если r(A) = r(B) = n, то система имеет единственное решение; если r(A) = r(B) < n, то система имеет бесчисленное множество решений.

8. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие операции:

1) умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;

3) перестановка местами двух уравнений в системе.

При помощи элементарных преобразований мы можем значительно упростить заданную систему. Решив упрощенную систему, мы найдем тем самым и решение исходной системы.

Формулы Крамера

Для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными часто используются формулами Крамера:

, , ,

где , , и . В этом случае система имеет единственное решение, если   0. При n > 0 решение по формулам Крамера весьма трудоемко, что связано с вычислением определителей.

Метод Гаусса

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в том, что последовательным исключением неизвестных при помощи элементарных преобразований систему приводят к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной или трапециевидной. После этого решить систему не представляет труда.

Пусть задана произвольная система линейных уравнений (1). Будем считать, что a₁₁  0 (в противном случае можно произвести перестановку уравнений). Исключим сначала неизвестное x₁ из всех уравнений системы (1), кроме первого. Для этого прежде всего разделим обе части первого уравнения на коэффициент a₁₁  0; тогда получим новую систему, равносильную данной:

(2)

Умножим теперь первое уравнение системы (2) на –a₂₁ и сложим его почленно со вторым уравнением. Затем умножим первое уравнение системы (2) на –a₃₁ и сложим его с третьим уравнением и так далее. В результате получим новую систему, также равносильную данной:

(3)

Здесь штрихами отмечены коэффициенты при неизвестных и свободные члены, полученные при первом шаге исключения неизвестных по формулам

Допустим, что в системе (3) (в противном случае всегда можно изменить порядок следования уравнений или перенумеровать неизвестные). Разделим теперь второе уравнение системы (3) на коэффициент ; затем умножим второе уравнение полученной системы последовательно на и сложим поочередно с каждым соответствующим уравнением системы, кроме первого и второго. Тогда получим систему, равносильную системам (1), (2), (3):

(4)

Далее действия над уравнениями системы (4) будем продолжать аналогично. Если при этом появятся нулевые уравнения, т. е. равенства 0=0, их отбрасывают, поэтому можно считать, что в системе (4) таких уравнений нет. Процесс указанных равносильных преобразований над системой линейных уравнений называется процессом Гаусса.

В результате процесса Гаусса возможны следующие три случая.

1) Если появится уравнение 0 = b, где b  0, то исходная система несовместна, т. е. решений не имеет.

2) Если система приводится к треугольному виду, то она является определённой, т. е. решение системы существует и единственно.

3) Если система приводится к трапециевидной форме, то она является неопределённой, т. е. имеет бесчисленное множество решений.