2.2 Практические рекомендации

Дробно-рациональная функция варианта ПР имеет вид:

P(z)=(2x⁵-7z³+4z²-3z+1)/(1,9z⁶+1,8z⁵-0,7z³+14z+3)

Найти значение функции P(z) при условии, что z=1,4+0,6i

2.2.1 Решение дрф (ручной способ)

По формулам (9) определяем значение функции P(z), предварительно проделав промежуточные расчеты:

z²=(x²-y)+i(2xy)= (1,4²-0,6²)+(2*1,4*0,6)i=(1,96-0,36)+1,68i=1,6+1,68i

z³=z²*z=(1,6*1.4-1,68*0,6)+i(1,4*1,68+0,6*1,6)=1,23+3,31i

z⁵=z²*z³=(1,6*1,23-1,68*3,31)+i(1,6*3,31+1,68*1,23)= -3,59+7,37i

z⁶=(z³)²=(1,23²-3,31²)+i(1,23*3,31)*2= -9,45+8,14i

числитель равен:

2z⁵-7z³+4z²-3z+1=2* -12,61-3,53i

знаменатель равен:

1,9z⁶+1.8z⁵-0.7z³+14z+3= -2,69+34,85i

P(z)=[(-12,61-3,53i)*(-2,68+34,85i)]/(7,22-1214,60) =-0,07+0,37i

Напоминание!

В курсовой работе должны присутствовать подробные записи всех расчетных операций.

2.2.2 Решение дрф (ms Exсel)

Шаг 1. Ввести в ячейки B2:B7 коэффициенты числителя; в ячейки D2:D8 коэффициенты знаменателя.

Шаг 2. Ввести в ячейки g3:h3 значения действительной и мнимой частей переменной z.

Шаг 3. Ввести в ячейку G4 формулу =$G$3*G3-$H$3*H3.

Шаг 4. Ввести в ячейку H4 формулу =$G$3*H3+$H$3*G3.

Шаг 5. Протянуть формулы из ячеек G4:H4 до G8:H8.

Шаг 6. Вычисление числителя.

Ввести в ячейку B11 формулу

=B2+B3*G3+B4*G4+B5*G5+B6*G6+B7*G7.

Шаг 7. Ввести в ячейку C11 формулу

=B3*H3+B4*H4+B5*H5+B6*H6+B7*H7.

Шаг 8. Ввести в ячейку B12 формулу

=D2+D3*G3+D4*G4+D5*G5+D6*G6+D7*G7+D8*G8.

Щаг 9. Ввести в ячейку C12 формулу

=D3*H3+D4*H4+D5*H5+D6*H6+D7*H7+D8*H8.

Шаг 10. Расчет знаменателя результата вычисления функции P(z)

Ввести в ячейку B13 формулу =B12^2+C12^2.

Шаг 11. Ввести в ячейку G11 формулу =(B11*B12+C11*C12)/B13.

Шаг 12. Ввести в ячейку G11 формулу “=(C11*B12-B11*C12)/B13.

Результаты решения ДРФ P(z) в MS Excel приведены на рисунке 7.

Рисунок 7 – Решение функции P(z)

2.2.3 Решение дрф в MathCad

Шаг 1. Ввод исходных данных.

Шаг 2. Ввод функции P(z).

Шаг 3. Вычисление значения функции P(z).

Результаты работы в MathCAD представлены на рисунке 8.

Рисунок 8 – Решение ДРФ в комплексной области

3 Решение уравнений третьей степени

Существуют точные (аналитические) и приближенные (численные) методы нахождения корней алгебраических уравнений. К точным методам относят, например, метод Кардано для нахождения корней кубического уравнения. Точные методы позволяют найти корни уравнения за конечное число шагов.

К приближенным методам относятся методы, позволяющие определить корни уравнения с заданной точностью вычислений (численные методы), такие как метод дихотомии (половинного деления), метод итераций, метод Ньютона (касательных), метод хорд и др.

3.1 Решение кубического уравнения (Кардано):

В общем виде уравнение третьей степени имеет вид

(11)

Это уравнение получается из уравнения y³+py+q=0 (12)

п утём замены переменной

(13)

Дискриминант этого уравнения равен

Таким образом, значения неизвестных х1, х2, х3 уравнения (11) определяются по описанным выше формулам в зависимости от знака дискриминанта S,

где p=(3*A*C-B²)/(3*A²),

q=(2*B³-9*A*B*C+27*A²*D)/(27*A³) (14)

Учитывая соотношения (9) можно записать:

При S<0 значения коэффициента F находятся по приведенным ниже формулам.