3.4.2 Решение уравнения в MathCad

Шаг 1. Запишем искомое уравнение

Шаг 2. Строим график исследуемой функции

Шаг 3. По графику определяем приближенное значение корня уравнения

Шаг 4. Используя оператор root(f(x),x), определяем уточненное значение корня (х1).

Шаг 5. Определяем корень х2.

Шаг 5. Определяем корень х3.

Шаг 5. Проверка достоверности найденных значений корней х1, х2, х3.

Решение уравнения в MathCAD представлено на рисунке 17.

Рисунок 17 – Решение уравнения третьей степени в MathCAD

3.4.3 Решение уравнения в Turbo Pascal

Шаг 1. Ввод исходных данных.

Шаг 2. Вычисление коэффициентов p и q уравнения, приведенного к каноническому виду.

Шаг 3. Вычисление дискриминанта уравнения s.

Шаг 4. Проверка условия s<0, - уравнение имеет три различных действительных корня. Вычисление этих корней.

Шаг 5. проверка условия s>0, - уравнение имеет один действительный и два комплексных корня. Вычисление этих корней.

Шаг 6. При s=0, - уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают. Вычисление этих корней.

Обрати внимание!

Блок-схема алгоритма нахождения корней уравнения по предложенной к рассмотрению в приложении 6 программе составляется студентом и помещается в пояснительную записку к курсовой работе.

Программа решения уравнения третьей степени с применением формулы Кардано представлена в приложении 6.

3.4.4 Метод половинного деления

Шаг 1. по графику (рисунок 20) определяем интервал изоляции корня уравнения: а=0,1; b=1.

Шаг 2. Определяем погрешность вычисления: e=0,000001.

Шаг 3. Вычисляем первое приближение корня: с=(a+b)/2.

Шаг 4. Определяем значение функции в точках а и с: f(c), f(a).

Шаг 5. Проверяем условие: Если f(a)*f(c)>0, то корень лежит на интервале [c,b], в другом случае он находится на интервале [a,c].

Шаг 6. Проверяем условие: Если величина интервала abs(a-b)≤ e, то корень найден с точностью е, иначе возвращаемся к шагу 3.

Блок-схема алгоритма решения задачи представлена в приложении 2

Программа решения задачи в Turbo Pascal – приложение 7.

4 Интерполяция и экстраполяция

Математика часто оперирует с математическими функциями решения дифференциальных уравнений и интегралов, которые не имеют аналитических выражений и представляются табличными числовыми значениями y_i для дискретных значений независимых переменных x_i вместо аналитических выражений в виде y=f(x). Это означает, что любому значению x из области определения поставлено в соответствии определенное числовое значение y. Аналогичными таблицами {y_i, x_i} могут представляться и экспериментальные данные, для которых неизвестна явная связь между y и x или эта связь только подлежит выяснению. Точки, в которых определены числовые значения функций или данных, называются узловыми.

Однако на практике могут понадобиться значения данных величин совсем в других точках, отличных от узловых, или с другим шагом дискретизации аргументов. Возникающая задача вычисления значений функции в промежутках между узами называется задачей интерполяции, за пределами семейства узловых точек вперед или назад по переменным – задачей экстраполяции или прогнозирования.

Даже при известных зависимостях y=f(x) формулы этих зависимостей, детально и точно описывающие определенные физические объекты и процессы, могут быть очень сложными и мало пригодными для практического использования, как при математическом анализе физических данных, так и в прикладных задачах, особенно при расчетах ожидаемых результатов измерений и при математическом моделировании физических процессов. Кроме того, практическая регистрация физических данных выполняется, как правило, с определенной погрешностью или с определенным уровнем шумов, которые по своим значениям могут быть выше теоретической погрешности прогнозирования сигналов при расчетах по сложным, хотя и очень точным формулам. Не имеет смысла и проектирование систем обработки и анализа сигналов по высокоточным формулам, если повышение точности расчетов не дает эффекта в повышении точности обработки данных. Во всех этих условиях возникает задача аппроксимации. Аппроксимация, это представление сложных функций s(x) или дискретных выборок из этих функций s(x_i) простыми и удобными для практического использования функциями аппроксимации s(x) таким образом, чтобы отклонение s(x) от f(x) в области ее задания было наименьшим по определенному критерию приближения.

Если приближение строиться на заданном множестве точек {x_i}, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др. При построении приближения на непрерывном множестве точек, например на отрезке [a,b], аппроксимация называется непрерывной или интегральной.

Сглаживание статистических данных или аппроксимация данных с учетом их статистических параметров относится к задачам регрессии. Как правило, при регрессионном анализе усреднение данных производится методом наименьших квадратов (МНК).

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Сущность его заключается в том, что функции y_i = f(x_i) сопоставляется интерполяционный многочлен (31), принимающий в точках x_i

s(x) = а₀ + а₁х + а₂х² + … + a_nxⁿ = a_i·xⁱ, (31)

те же значения y_i, что и функция f(x). Для выполнения полиномиальной интерполяции достаточно по выражению (31) составить систему линейных уравнений для n узловых точек и определить n значений коэффициентов a_i.

При N точках функции y_i максимальная степень интерполяционного многочлена n=N-1, и в этом случае говорят о глобальной интерполяции с прохождением s(x) через все значения точек y_i. Однако в этом случае при большом количестве узлов получается очень высокая степень многочлена. Кроме того, экспериментальные табличные данные могут содержать ошибки измерений, а глобальная интерполяция повторит все допущенные при измерениях ошибки. Для исключения этого фактора стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (как правило, n=1, 2, 3), график которого проходит близко от узловых точек. На практике мерой отклонения многочлена s(x) от заданной функции на множестве точек (x_i,y_i) является величина σ среднеквадратичного приближения σ² = Σ_i(s(x_i)-y_i)², минимальное значение которой обеспечивается подбором коэффициентов a_i.

Линейная и квадратичная интерполяция являются самыми простыми способами обработки таблиц и выполняются по уравнениям:

s(x)_лин = а₀ + а₁х. s(x)_кв = а₀+а₁х+а₂х².

При линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. Графически это означает простое соединение узловых точек отрезками прямых.

Для практического использования более удобны формулы аппроксимации, не требующие предварительного определения коэффициентов аппроксимирующих полиномов. К числу таких формул относится интерполяционный многочлен Лагранжа, для нахождения которого может служить формула Лагранжа:

φ_n(x)=L₀(x)*f₀+L₁(x)*f₁+…+L_n(x)*f_n, (32)

где

L_i(x)=[(x-x₀)…(x-x_i-1)*(x-x_i+1)…(x-x_n)]/[(x_i-x₀)…(x_i-x_i-1)*(x_i-x_i+1)…(x_i-x_n)]

F_i=f(x_i).