3.2.4 Модифицированный метод Ньютона (метод секущих)

В этом методе для вычисления производных на каждом шаге поиска используется численное дифференцирование по формуле:

Тогда рекуррентная формула (15) будет иметь вид:

(23)

здесь

3.2.5 Метод хорд

Метод основан на замене функции f(x) на каждом шаге поиска хордой, пересечение которой с осью Х дает приближение корня.

При этом в процессе поиска семейство хорд может строиться:

а) при фиксированном левом конце хорд, т.е. z=a, тогда начальная точка х₀=b (рисунок 15а);

б) при фиксированном правом конце хорд, т.е. z=b, тогда начальная точка х₀=a (рисунок 15б);

Рисунок 15 – Метод Хорд 

В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой:

для случая а)

(24)

для случая б)

(25)

Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не выполнится условие

(26)

Метод обеспечивает быструю сходимость, если f(z)f"(z) > 0, т.е. хорды фиксируются в том конце интервала [a,b], где знаки функции f(z) и ее кривизны f"(z) совпадают.

Схема алгоритма уточнения корня методом хорд представлена в приложении 5.

3.3 Алгоритм действий при выполнении задания

1. Выбрать исходные данные варианта задания (таблица 5). Номер варианта задания соответствует последнему символу номера зачетной книжки.

2. Записать уравнение третьей степени.

3. Решить уравнение: а) в MS Exсel;

б) в MathCAD;

в) в Turbo Pascal.

В MS Excel задачу решить путем подбора параметра, в MathCAD(е) – с использованием операторов root(f(x),x) и polyroots(F).

На алгоритмическом языке Pascal реализовать решение задачи численным методом (Хорд): алгоритм и программа; методом Кардано: алгоритм и программа, - программа рассмотрена в приложении 6.

По предложенной программе необходимо составить алгоритм, поместив его в пояснительную записку к курсовой работе с подробным пошаговым описанием.

Как пример, ниже, приведен пример решения уравнения третьей степени методом половинного деления.

Во всех вариантах нахождения корней уравнения провести проверку правильности решения.

4. Составить таблицу результатов решения (п.3).

5. Оформить выводы относительно решений задания в Excel, MathCAD, Pascal.

Таблица 5 – Исходные данные задания 3

В ариант Коэффиц.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	ПР
a	6	3	14	20	-6	4	8	2	7,3	4,2	2
b	2	-7	5	3	4	6	-6	0,5	-2,7	0	-7
c	-1	0	-7	6	0	-2	3	1	-0,4	3	8
d	-1	1	3	-24	2	5	-12	4	5,4	10	-2