4.2. Система линеаризованных дифференциальных равнений, описывающая переходные процессы в электрической системе при малых возмущениях

При использовании в качестве независимых переменных E_q и δ система линеаризованных дифференциальных уравнений будет иметь вид:

где

При получении системы линеаризованных уравнений принято, что

Выражения для частных производных получаются путем дифференцирования алгебраических равенств (4.2):

4.3. Характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение системы линейных дифференциальных уравнений имеет вид:

При этом коэффициенты характеристического уравнения следующие:

где

4.4. Анализ корней характеристического уравнения

Анализ корней характеристического уравнения осуществляется методом D-разбиения путем построения области устойчивости в плоскости настроечных параметров K_0f , K_1f. При этом под областью устойчивости понимается такая область значений параметров K_0f , K_1f, при которых корни характеристического уравнения имеют только отрицательные вещественные части, и, следовательно, на основании теоремы А.М. Ляпунова электрическая система устойчива.

4.4.1. Анализ корней характеристического уравнения методом d­-разбиения

После подстановки в характеристическое уравнение чисто мнимого корня p=jω и отделение вещественной части от мнимой, получается следующая система уравнений:

(4.4)

где

Исходя из системы уравнений (4.4) определены параметрические уравнения границы D-разбиения:

(4.5)

Задаваясь значениями ω от 1 до 21 вычисляются по (4.5) K_0f и K_1f. Их расчет сведен в табл. 4.1. По данным таблицы 4.1. построена область D-разбиения на рис.10.

Таблица 4.1

ω	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
K0f	-42,384	-39,285	-34,223	-27,353	-18,891	-9,117	1,63	12,947	24,369	35,371
K1f	78, 012	14,944	3,692	0,26	-0,775	-0,748	-0,119	0,921	2,28	3,911

Таблица 4.1 (продолжение)

ω	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
K0f	45,364	53,698	59,662	62,481	61,319	55,28	43,403	24,667	-2,011	-37,777	-83,838
K1f	5,787	7,889	10,209	12,74	15,476	18,415	21,554	24,892	28,428	32,16	36,087

Рисунок 10. Граница D-разбиения и область устойчивости.

4.4.2. Анализ корней характеристического уравнения методом Гурвица

Поскольку метод D-разбиения не дает в общем случае однозначного ответа на вопрос, является ли построенная область областью устойчивости, то для окончательного решения вопроса необходимо проверить на устойчивость хотя бы одну из точек этой области.

Согласно критерию Гурвица для того, чтобы корни характеристического уравнения имели только отрицательные вещественные части, необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны, a­_i>0, i= , и кроме того, составленный по определенному правилу определитель Гурвица и все его диагональные миноры были также положительны, .

Рассмотрим точку K_0f=K_1f=10.

Для характеристического уравнения пятого порядка определитель Гурвица имеет вид

Вывод: Так как для выбранной из области D-разбиения точки K_0f=K_1f=10, выполняется критерий Гурвица, то построенная область рис. 10 является областью устойчивости рассматриваемой электрической системы.