1. Эластичность функции.

1.1. Определение эластичности функции.

Определение. Эластичностью функции y=f(x) называется предел отношения относительных изменений переменных y и x, то есть

где Mf - маржинальное значение функции f в точке x,

Af – среднее значение функции f в точке x.

Замечание. Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y=f(x) при изменении независимой переменной x на 1%.

Замечание. Эластичность может быть представлена в виде логарифмической производной

, так как и .

Замечание. Производная функции y=f(x) также является одним из показателей реагирования одной переменной на изменение другой. характеризует скорость изменения функции с изменением аргумента. Однако, в экономических исследованиях такая характеристика не очень удобна, поскольку зависит от единицы измерения. Например, если рассмотреть функцию спроса Q на картофель в зависимости от его цены р, то значение производной зависит от того, измеряется ли спрос в килограммах или в центнерах. Поэтому было введено понятие эластичности, чтобы изучать связь не абсолютных изменений функции и аргумента, а связь их относительных или процентных изменений.

Замечание. Производная функции выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

1.2. Геометрическая интерпретация эластичности.

Рассмотрим убывающую вогнутую функцию, представленную на рисунке 1.2.1. Найдем эластичность этой функции в произвольной точке С(x,y). Для этого проведем касательную АВ в точке С к графику функции y=f(x).

рис. 1.2.1.

Утверждение.

, то есть геометрически эластичность убывающей выпуклой вниз функции равна отношению расстояний по касательной от точки С(x,y) до точек пересечения касательной с осями OY и OX, взятому со знаком минус.

Действительно, из треугольника ACX следует, что . Так как производная функции y=f(x) в точке С равна , то , кроме того , и следовательно . Треугольники CBY и CAX подобны, поэтому , кроме того , следовательно . Итак .

Замечание. В случае выпуклой возрастающей функции эластичность по абсолютной величине также равна отношению . В общем случае знак эластичности для возрастающей или убывающей выпуклой функции будет определяться следующим образом. Если точки А и В лежат по одну сторону от точки С на касательной, то надо выбрать знак «+» (рис. 1.2.2., рис. 1.2.3.), если же по разные стороны от точки С, то знак минус (рис. 1.2.1.).