2. Спектральные диаграммы

Спектр ЧМ сигнала значительно сложней спектра АМ сигнала. В математической модели ЧМ-сигнала

S_чм(t)=U_msin(ω_ot - М cosΩt + ψ)

аргумент синуса представим в виде разности двух величин: (ω_ot + Ψ) и М cosΩt. Обратившись к математике, где:

sin(x y) = sinx cosy cosx siny,

можно записать:

S_чм(t) =U_m [sin ( ω_ot +Ψ)cos (МcosΩt) - cos(ω_ot +Ψ)sin(МcosΩt)],

где (x= ω_ot +Ψ; y= МcosΩt)

Функции cos (МcosΩt) и sin(МcosΩt) периодические и имеют сложную форму, следовательно, их можно представить в виде рядов Фурье с основной частотой Ω:

cos (МcosΩt) = Ι_о(М) - 2 Ι₂(М) cos2Ωt + 2 Ι₄(М) cos4Ωt - 2 Ι₆(М) cos6Ωt + …

sin(МcosΩt) = 2 Ι₁(М) cosΩt -2 Ι₃(М) cos3Ωt + 2 Ι₅(М) cos5Ωt 2 Ι₇(М) cos7Ωt +…

Внимательный анализ этих выражений показывает, что они содержат постоянную составляющую Ι_о(М), зависящую от индекса модуляции М , а также набор четных и не четных гармоник частоты модулирующего сигнала Ω. Коэффициенты Ι₁(М), Ι₂(М), и т. д. зависят также от М . Теоретически М может принимать любые значения от -∞ до +∞. Коэффициенты Ι₁(М), Ι₂(М), и т. д. называют функциями Бесселя (рис.16).

Рис.16 Функции Бесселя

После дополнительных тригонометрических преобразований формулу ЧМ сигнала можно записать так:

S_чм(t)=U_m Ι_о(М)sin(ω_ot + φ)- U_m Ι₁(М){cos[(ω_o- Ω)t + Ψ] + cos[(ω_o + Ω)t + Ψ]} – U_m Ι₂(М) {sin[(ω_o- 2Ω)t + Ψ] + sin(ω_o + 2Ω)t + Ψ]} + U_m Ι₃(М){cos[(ω_o- 3Ω)t + Ψ] + cos[(ω_o + 3Ω)t + Ψ]} + U_m Ι₄(М){sin[(ω_o- 4Ω)t + Ψ] + sin[(ω_o + 4Ω)t + Ψ]} +…

В спектре ЧМ сигнала обнаруживаются гармоники: ω_o, (ω_o- Ω), (ω_o+ Ω), (ω_o- 2Ω), (ω_o+ 2Ω) и т.д. Их амплитуды соответственно равны U_m Ι_о(М), U_m Ι₁(М), U_m Ι₂(М), и т. д. Они могут существенно изменяться при изменении М. При малых значениях индекса модуляции М (до 0,5) спектр ЧМ сигнала имеет только две боковые частоты (ω_o- Ω) и (ω_o+ Ω) и его ширина совпадает с шириной спектра АМ сигнала. С ростом М спектр значительно усложняется. Число спектральных линий, длина которых существенно отличается от нуля, зависит от М. Расстояние между соседними линиями спектра равно частоте модулирующего сигнала Ω (рис.17).

а)

б)

в)

Рис. 17. Спектры ЧМ сигналов при различных индексах модуляции - М

Ширина спектра чм-сигнала

При индексе модуляции М < 0,5 амплитуды высших гармонических составляющих малы и ширину спектра можно принять Δω = 2Ω. При значениях 0,5 < М < 1 становится заметной вторая пара гармонических колебаний с боковыми частотами (ω_o- 2Ω) и (ω_o+ 2Ω) и ширина спектра принимается за 4Ω . При больших индексах модуляции М ширина близка к удвоенному значению девиации частоты. Δω 2Δω_м. Как правило, реальные ЧМ сигналы имеют значение М >>1 . Они применяются в системах высококачественного радиовещания на метровых волнах, в системах спутниковой и кабельной связи.

Если модулирующим сигналом является скачкообразно изменяющийся, получают частотную манипуляцию. При этом амплитуда частотно-манипулированного сигнала, как и ЧМ сигнала остается постоянной.