Свойства нелинейных электрических цепей

Важнейшая особенность любой нелинейной цепи – для нее несправедлив принцип суперпозиции: отклик устройства на сумму воздействий не равен сумме откликов на каждое воздействие в отдельности.

В этом можно убедиться на примере:

воздействие 1-е – и₁, воздействие 2-е – и₂, сумма двух воздействий и = и₁ + и₂

В линейной цепи отклик (реакция) i = аи. Отклик на 1-е воздействие i₁ = аи₁

Отклик на 2-е воздействие i₂ = аи₂

Отклик на сумму воздействий i = а(и₁+ и₂)= аи₁ + аи₂ = i₁+ i₂

Предположим, в нелинейной цепи отклик i = аи². Отклик на 1-е воздействие i₁ = аи₁²

Отклик на 2-е воздействие i₂ = аи₂²

Отклик на сумму воздействий i = а(и₁+ и₂)² = аи₁² + 2а и₁и₂+ аи₂² = i₁+ i₂ +2а и₁и₂

В линейной цепи принцип суперпозиции выполняется, в нелинейной – не выполняется.

В нелинейной цепи слагаемое 2а и₁и₂ появляется только при одновременной подаче обоих воздействий. Это означает, что на выходе нелинейной цепи возникают новые продукты (новые гармоники), которых не было на входе.

Это свойство нелинейных элементов - появление на выходе новых гармонических составляющих, отсутствующих во входном сигнале, используется в устройствах преобразования и формирования сигналов: модуляторах, демодуляторах (детекторах), преобразователях частоты, умножителях частоты и др.

Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Как правило, ВАХ нелинейных элементов (НЭ) получают экспериментально. Отображение графика ВАХ в математической форме, пригодной для расчетов называется аппроксимацией. Требуется подобрать такую аппроксимирующую формулу, которая, будучи довольно простой, отображала бы все важнейшие особенности экспериментально снятой характеристики с достаточной степенью точности.

Наиболее распространенные аппроксимирующие функции:

Аппроксимация степенным полиномом

ВАХ нелинейного элемента аппроксимируется степенным полиномом (записывается в виде степенного ряда): i(u) = а₀ + a₁u + a₂u² + a₃u³ + …

При помощи степенного полинома можно аппроксимировать характеристики НЭ с любой степенью точности, но для высокой точности требуются полиномы высоких степеней (порядков), т.е. с большим числом членов и, следовательно, неудобные для работы.

Для целей аппроксимации чаще всего используют полиномы невысоких порядков:

- полином первой степени i(u) = а₀ + a₁u – прямая линия;

- полином второй степени i(u) = а₀ + a₁u + a₂u² - парабола.

Коэффициенты степенного полинома а₀, а_1, а₂ могут быть определены следующим образом:

- по ВАХ НЭ выбрать три точки с координатами (и₁ , i₁), (и₂ , i₂), (и₃ , i₃);

- подставить в полином соответствующие значения тока и напряжения в этих точках и получить систему уравнений с тремя неизвестными а₀, а_1, а₂

i₁= а₀ + a₁u₁ + a₂u₁² Решение системы позволит найти коэффициенты а₀, а_1, а₂

i₂= а₀ + a₁u₂ + a₂u₂²

i₃ = а₀ + a₁u₃ + a₂u₃²

Аппроксимация отрезками прямых линий

Приближенная замена реальной ВАХ НЭ отрезками прямых линий с различными наклонами.

Каждый отрезок задается отдельным выражением:

0 при и< и₀ и₀ – напряжение отсечки,

i(u) = а₀ + a₁u при и_н ≥ и ≥ и₀ i_н - ток насыщения, i_п – ток покоя,

i_н при и> и_н и_н - напряжение насыщения.

Аппроксимация экспоненциальным полиномом

i(u) = А₁е ^а1и + А₂е ^а2и +…+ А_ке ^аки

Экспоненциальный полином можно достаточно точно передать любую характеристику. Вследствие трудностей определения коэффициентов аппроксимации, обычно используют одночленные или двучленные полиномы:

i(u) = Ае ^аи

i(u) = А₁е ^а1и + А₂е ^а2и