Лекция 5. Векторное пространство, базис, преобразование координат

1. Определения

Определение векторного пространства базируется на понятии числового поля.

Множество чисел образует числовое поле, если для результат выполнения алгебраических операций , , , если , так же принадлежат . Так, например, множество рациональных, действительных или комплексных чисел являются числовыми полями, в то время как множество, целых или чисел отрезка полями не являются. Из определения, в частности, следует, что 0 и 1 , т.к. для значения , также принадлежит .

Некоторое множество объектов произвольной природы , называемых векторами, образует векторное пространство над числовым полем , если

1. в нем определена операция, условно называемая сложением и обозначаемая символом и операция умножения на число, т.е. для и ;

2. существует нулевой элемент Ø, т.е. такой что:

3. Ø Ø ;

Указанные операции обладают свойствами

,

,

Ø,

,

Ø.

Пример. Проверить, является ли векторными пространствами над полем действительных чисел:

1. множество многочленов второй степени

если операции сложения и умножение на число заданно естественным образом, т.е.

;

.

2. Множество многочленов не выше второй степени

если операции сложения и умножения на число заданным естественным образом.

3. Множество не выше второй степени

если операция сложения и умножения на число заданы следующим образом:

,

.

Ответ:

1. Данное множество векторным пространством не является т.к. , ,

однако .

2. Данное множество является векторным

пространством, т.к.выполняются все указанные в определении свойства.

3. Множество векторным пространством не является, т.к. и ,

однако .

2. Линейная независимость векторов

Совокупность векторов называется линейно независимыми , если их линейная комбинация где , равна Ø . В противном случае система векторов называется линейно зависимой. Справедлива

Теорема1: Пусть - линейно зависимы. Тогда, по крайне мере, один из векторов представляет линейную комбинацию остальных:

Доказательство: Пусть , например ,

и .

Тогда

и , разделив обе части последнего выражения на , получим ,

что и требовалось доказать.

Максимальная система линейно независимых векторов называется базисом пространства , а число n – его размерностью. Векторное пространство может быть и бесконечномерным, таким, например, является множество непрерывных на отрезке функций.

При добавлении к базису произвольного вектора x система становится уже линейно зависимой. Поэтому, в силу теоремы 1, любой вектор можно разложить по базису, т.е. представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

(1)

Такое разложение единственно, т.к. если допустить противное, т.е. существование другого набора :

, (2)

то из сравнения разложений (1) и (2) следует, что

.

Откуда, в силу линейной независимости , получим .

Таким образом, набор определяется единственным образом, его обычно отождествляют с вектором и обозначают . Этот набор называется координатами вектора в базисе .

При наличии базиса оперирование с элементами векторного пространства сводится к оперированию с соответствующими им наборами. В этом случае , обычно предполагается «естественное» определение операций, т.е.

.

Замечание. При наличии координат анализ линейной независимости заданной системы векторов сводится к определению ранга матрицы, столбцами которой являются координаты этих векторов. Этот ранг называется рангом системы векторов.