2. Матричный метод

Рассмотрим , – матричную форму системы уравнений.

Предположим, что . В этом случае матрица имеет обратную . Умножим слева обе части на , и выполнив преобразования, получим:

т.е. .

Данное соотношение и представляет суть матричного метода. Заметим, что он, как и правило Крамера, применим, если .

Пример. Рассмотрим систему (3).

Решение:

Имеем , , .

Тогда существует. Находя последовательно алгебраические дополнения

Получим:

Следовательно,

Т.е.

3. Метод Гаусса

Иногда он также называется методом исключения. Условно состоит из двух этапов. Первый из них, – прямой ход, заключается в приведении, путем эквивалентных преобразований, системы (1) к, так называемому, треугольному виду.

,

второй этап – обратный ход, - в последовательном нахождении переменных. Из последнего уравнения имеем , подставляя, теперь, это значение в предыдущее уравнение, определяем и т.д., продвигаясь по системе снизу вверх последовательно находим значения всех переменных.

Порядок выполнения прямого хода опишем на примере системы трех уравнений.

Предположим , что все рекомендуемые ниже операции, допустимы.

1. Разделим первое уравнение на , получим

2. Из второго уравнения теперь вычтем первое, умноженное на , а из третьего вычтем первое, умноженное на . Т.о. выполним следующее преобразование системы:

,

в результате чего она примет вид

3. Далее, сделаем аналогично со вторым и третьим уравнением. А именно:

,

в результате чего получим

4. Положив теперь

получим требуемый вид.

Замечание 1.Если при выполнении прямого хода на некотором шаге диагональный элемент окажется равным 0 и деление на него становится невозможным, то для продолжения процедуры необходимо переставить столбцы матрицы, соответствующим образом, перенумеровав неизвестные.

Замечание 2. Метод Гаусса применим к любой системе уравнений. Если система уравнений имеет единственное решение, то в результате выполнения прямого хода получим треугольный вид. Если же система уравнений несовместна , то на некотором шаге одно из уравнений системы применим вид

,

Где . Если же система имеет бесчисленное множество решений, то в процессе выполнения прямого хода одно или несколько уравнений обращаются в верные равенства, вида

0 = 0.

Они удаляются из системы и она принимает трапециевидный вид

Замечание 3. Если при операциях с очередной строкой, начиная со второй, проводить ее вычитание не только из последующих, но и из предыдущих строк , добиваясь удаления из них соответствующих переменных, то дойдя, таким образом, до последней, получим непосредственно решение системы.

Внешне этот процесс для системы трех уравнений выглядит следующим образом. После операций с первой строкой система принимает вид

После операций со второй, –

После операций с третьей, –

Данная процедура, по существу, объединяет прямой и обратный ходы метода Гаусса и иногда называется методом Жордана-Гаусса .

Пример. Рассмотрим систему (3).

Решение: Переставив первое и второе уравнения, получим систему

Приведем систему к треугольному виду.

1. Выполним преобразования, связанные с первой строкой: Т.е.

.

Получим

2. Выполним преобразования, связанные со второй строкой: Т.е.

.

Получим

.

Тогда из

3-го уравнения

2-го уравнения

1-го уравнения

Замечание. При вычислениях вручную и выполнении действия 2 ,наверное, целесообразно деление 2-ой строки на (– 3) не проводить.