5. Контрольные вопросы

5.1. Запишите дифференциальные уравнения всех типовых звеньев, изучаемых в данной лабораторной работе.

5.2. Дайте определение, что называется переходной характеристикой и переходной функцией.

5.3. Как по дифференциальному уравнению звена найти его переходную функцию?

5.4. Покажите аналитически, как влияют изменения параметров изучаемых звеньев на вид их переходных характеристик.

5.5. Чем отличается переходная характеристика реального дифференцирующего звена от переходных характеристик инерционных звеньев апериодического и колебательного?

5.6. Какими параметрами можно охарактеризовать свойства типовых звеньев в установившемся и переходном режиме?

5.7. Используя правила структурных преобразований, покажите, как влияют отрицательные и положительные обратные связи на свойства интегрирующего и апериодического звеньев в установившемся и переходном режиме.

5.8. Как коэффициент демпфирования влияет на вид переходной характеристики колебательного звена?

Лабораторная работа № 2

Частотные характеристики типовых линейных устойчивых звеньев систем автоматического управления

1. Цель работы

Методом структурного моделирования снять и построить амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики типовых звеньев: апериодического, колебательного и реального дифференцирующего. Исследовать влияние параметров колебательного звена на вид амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик.

2. Общие сведения

Частотные характеристики широко используются при анализе и синтезе систем автоматического управления и применяются для оценки динамических свойств отдельных звеньев и систем.

По своей сути частотные характеристики показывают реакцию звена на гармонический входной сигнал в установившемся режиме при изменении частоты от нуля до бесконечности.

Частотные характеристики звена (системы) можно получить аналитическим путём или экспериментально на самом звене (системе) или с применением метода структурного моделирования.

Можно строго математически показать, что если на линейное звено подать гармоническое входное воздействие вида

X_вх = A_вх Sint,

то в установившемся режиме реакцией звена всегда будет также синусоидальная функция той же частоты , но, в общем случае, с другой амплитудой А_вых и со сдвигом по фазе  относительно входного воздействия

X_вых = А_вых Sin (t + ).

В области положительных частот представим гармонические входной и выходной сигналы в комплексной форме и введём, по аналогии с передаточной функцией, понятие комплексного коэффициента передачи (комплексной передаточной функции) W (j). В этом случае блок-схема звена примет вид, изображённый на рис. 2.1.

Дадим формулировку комплексного коэффициента передачи.

Комплексным коэффициентом передачи называется отношение комплексной выходной величины к комплексной входной величине при нулевых начальных условиях.

Из формулировки следует, что

.

Здесь – функция частоты, которая показывает, во сколько раз увеличивается или уменьшается амплитуда гармонического сигнала на выходе по сравнению с амплитудой на входе. Характеристика, построенная по А() при изменении частоты от нуля до бесконечности, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ),

() – функция, показывающая, как изменяется сдвиг по фазе выходного синусоидального сигнала по отношению к входному синусоидальному сигналу при изменении частоты. График, построенный по () в диапазоне частот от 0 до , называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

Характеристика, построенная по выражению W (j), называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Комплексный коэффициент передачи можно представить геометрической суммой вещественной и мнимой составляющих:

W (j) = P () + jQ ().

График функции P () называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ), а функции Q () – мнимой частотной характеристикой (МЧХ).

Исходным аналитическим выражением для получения всех частотных характеристик является комплексный коэффициент передачи W (j). Формально его очень просто можно найти по передаточной функции W (p) подстановкой р = j.

Как функцию комплексного переменного, представим W (j) в алгебраической и показательной форме записи:

W (j) = P () + jQ () = A () .

Алгебраическая форма позволяет найти аналитические выражения для вещественной и мнимой частотных характеристик, а показательная для амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик.

Частотные характеристики алгебраической и показательной форм связаны между собой следующими соотношениями:

P () = A ()Sin (()), Q (= A ()Sin (()).

Аналитические выражения для комплексного коэффициента передачи в алгебраической и показательной форме и амплитудно-фазовые частотные характеристики типовых звеньев, изучаемых в данной работе, приведены в табл. 2.1.

Экспериментально на реальном звене или его модели можно снять две частотные характеристики: амплитудно-частотную A() и фазочастотную (). Для этого необходимо на вход звена включить генератор гармонического сигнала (ГГС), позволяющего изменять частоту в достаточно широком диапазоне.

Блок-схема для экспериментального снятия частотных характеристик А() и () приведена на рис.2.1.

Таблица 2.1

Наименование звена	Комплексный коэффициент передачи	Амплитудно-частотная характеристика
Апериоди- ческое
Колебатель- ное
Реальное дифференци- рующее

В эксперименте с реальным звеном для снятия частотных характеристик следует задаться рядом значений частот и в установившемся режиме для каждой частоты замерить А_вых, А_вх и . Ординаты амплитудо-частотной характеристики на каждой частоте рассчитываются по формуле:

.

Этот расчет можно исключить, если в эксперименте удаётся взять А_вх = 1. Тогда А () будет численно равна А_вых.

В модельном эксперименте для определения значений А () и () при фиксированном значении частоты необходимо в установившемся режиме вывести на экран монитора компьютера одновременно синусоидальные входной (с амплитудой равной 1) и выходной сигналы и средствами соответствующей программы замерить значения А () = А_вых и ().

Полученные экспериментальные данные целесообразно свести в табл. 2.2.

Таблица 2.2



0

ср =



Тк

А()

()

В таблице: Т_к = 2/ – период колебаний. Строка нужна в том случае, если в прикладной программе частота задаётся периодом колебаний (например, в программе «КОМПАС»), _ср = 1/Т – частота сопряжения типового звена (для колебательного звена _ср = 1/Т₁).

Количество и значения частот, при которых снимаются частотные характеристики, выбирает студент при подготовке основы отчёта по данной лабораторной работе.

Здесь можно сделать следующие рекомендации:

• начальные и конечные значения А () и () при  = 0 и  =  экспериментально определить невозможно. Поэтому их следует рассчитать аналитически (по формулам) и включить в таблицу при домашней подготовке отчёта;

• в число частот обязательно следует включать частоту сопряжения. Теоретически известно, что при частоте сопряжения сдвиг по фазе равен половине предельного (при  = ). Если начать снятие частотных характеристик с частоты сопряжения, то можно сразу же проверить достоверность получаемых результатов по значению (_ср);

• так как зависимости А () и () нелинейные, то задаваться равномерной шкалой частот не следует. Желательно, чтобы точки характеристики () отстояли друг от друга для апериодического и реального дифференцирующего звеньев ориенировачно на 10…13_, а для колебательного на 15…18 градусов;

• в эксперименте частоту достаточно изменять в диапазоне от 0.1 _ср до 10 _ср.