Арифметичні теореми про збіжні послідовності

Теорема 3.7. Границя суми двох збіжних послідовностей дорівнює сумі границь:

.

Доведення. Нехай та . За теоремою 3.6. послідовності та є нескінченно малими. Позначимо та . Звідси: та Розглянемо суму: , або . Сума є нескінченно малою, а тоді за теоремою 3.6 послідовність має границею . Отже: .

Аналогічно доводиться, що .

Теорема 3.8. Границя добутку двох збіжних послідовностей дорівнює добутку границь:

.

Доведення. Нехай та . За теоремою 3.6 послідовності та є нескінченно малими. Позначимо та . Звідси: та . Розглянемо добуток: . Позначивши , отримаємо: . Доведемо, що послідовність є нескінченно малою. Дійсно, та − сталі, отже, їх добутки на нескінченно малі та є нескінченно малими, так як і добуток двох нескінченно малих та , а сума скінченого числа нескінченно малих послідовностей також є нескінченно малою. Таким чином, є нескінченно малою, отже, .

Теорема 3.9. Границя частки двох збіжних послідовностей дорівнює частці границь:

.

Доведення. Нехай та . За теоремою 3.6 послідовності та є нескінченно малими. Позначимо та . Звідси: та . Розглянемо різницю:

.

Вираз є сумою добутків сталої на нескінченно малу величину, отже, це нескінченно мала величина. Множник: є числовою послідовністю, границею якої є число , оскільки − стала, а − нескінченно мала, її границя дорівнює нулю. Отже, ця послідовність збіжна, тому обмежена, а добуток обмеженої на нескінченно малу є нескінченно малою. За теоремою 3.60

послідовність має границею число .

Теорема 3.10. Границя сталої дорівнює самій сталій величині:

.

(Без доведення).

Наслідок теорем 3.8. та 3.10. Сталу можна виносити за знак границі:

.

Означення 3.26. Числова послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого додатного існує номер , який залежить від , такий, що виконується нерівність: .

У такому випадку границя послідовності не існує, інколи використовується запис: .

Зауваження. Треба розрізняти поняття нескінченно великої та необмеженої послідовностей. Послідовність називається необмеженою, якщо , тобто нерівність виконується для одного члена послідовності, а саме - для і може не виконуватись для всіх наступних членів послідовності. А у випадку нескінченно великої послідовності модулі всіх членів з номерами більшими за більші за .

Теорема 3.11. Зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими послідовностями.

1. Якщо - нескінченно велика послідовність, у якої , то послідовність є нескінченно малою.

2. Якщо - нескінченно мала послідовність, у якої , то послідовність є нескінченно великою.

Доведення. Доведемо перше твердження.

Нехай і . Візьмемо довільне додатне число . Позначимо . За означенням , звідки за умовою , отримаємо: , отже, послідовність є нескінченно великою.

Доведемо друге твердження.

Нехай нескінченно велика числова послідовність, і . Візьмемо довільне додатне число . Позначимо . За означенням , звідки за умовою , отримаємо: , а це і встановлює, що - нескінченно мала.