Основні властивості функцій

Означення 3.8. Функція називається парною (непарною), якщо:

1. разом з будь-якою точкою точка ;

2. виконується рівність .

Якщо функція не задовольняє хоча б одній із цих умов, то вона називається функцією загального вигляду.

Означення 3.9. Функція називається монотонною, якщо вона є зростаючою, спадною, неспадною чи незростаючою.

Означення 3.10 .Функція називається зростаючою, якщо для будь-яких виконується нерівність: .

Функція називається спадною, якщо для будь-яких виконується нерівність: .

Функція називається неспадною, якщо для будь-яких виконується нерівність: .

Функція називається незростаючою, якщо для будь-яких виконується нерівність: .

Перші два типи функцій називаються строго монотонними, останні дві – не строго монотонними.

Означення 3.11. Функція називається обмеженою, якщо існують числа такі, що: .

Функція називається обмеженою зверху, якщо існує число таке, що: .

Функція називається обмеженою знизу, якщо існує число таке, що: .

Означення 3.12. Функція називається періодичною, якщо існує число таке, що разом з будь-якою точкою , яка належить області визначеності, точки також належать і виконується умова:

.

Найменше таке число називається періодом функції.

Запитання та завдання для самоперевірки

1. Наведіть означення обмеженої та необмеженої функцій.

2. Доведіть твердження: якщо для функції існує число таке, що разом з будь-якою точкою , точка , то точки також належать .

3. Наведіть означення епсілон-околу. Який його геометричний зміст у одно-, дво- та тривимірних просторах.

4. Які з відомих із шкільного курсу алгебри функцій є:

зростаючими;

неспадними;

періодичними;

необмеженими.

5. Побудуйте систему, яка б описувала множини таких функцій:

3.1. Числові послідовності

Означення 3.13. Числовою послідовністю називається пронумерований ряд чисел: Можна позначати також:

,

де - загальний член послідовності; - деяка невласна підмножина .

Якщо множина містить скінчену множину натуральних чисел, то послідовність називається скінченою, якщо ж містить нескінчену кількість чисел, то послідовність називається нескінченою. Ми будемо розглядати лише нескінчені числові послідовності.

Якщо послідовність нескінчена, то можна так перенумерувати члени послідовності, щоб співпадало з множиною натуральних чисел . Тоді між множиною та членами послідовності з’являється відповідність, при якій елементу з множини відповідає єдиний член послідовності, тобто існує відображення, яке є функцією. Виходячи з цього, числові послідовності називають функціями натурального аргументу.

Найбільш поширений спосіб визначення числових послідовностей – аналітичний, причому існує дві можливості:

• за формулою загального члена: ;

• за рекурентним співвідношенням: .

Останній спосіб використовується, зокрема, при визначенні арифметичної та геометричної прогресій.

Оскільки числова послідовність є функцією, то вона може мати деякі властивості функцій, визначених на підмножині множини дійсних чисел. При цьому, для частини властивостей означення зберігаються, а деякі потребують переформулювання.

Наприклад, властивість парності та непарності не існує, оскільки множина визначеності несиметрична відносно початку координат.

Періодичність числових послідовностей має інше формулювання, а саме:

Означення 3.14. Числова послідовність називається періодичною, якщо існує натуральне число таке, що, починаючи з номера , виконується умова:

.

Найменше значення називається періодом.

Означення 3.15. Числова послідовність називається обмеженою, якщо існують числа такі, що:

.

Числова послідовність називається обмеженою, якщо існує число таке, що:

.

Числова послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує число таке, що:

.

Числова послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує число таке, що:

.

Означення 3.16. Числова послідовність називається монотонно зростаючою, якщо

.

Числова послідовність називається монотонно спадною, якщо .

Числова послідовність називається монотонно неспадною, якщо .

Числова послідовність називається монотонно незростаючою, якщо

.