Операції над числовими послідовностями

Послідовності можна додавати, віднімати, множити на скаляр, множити та ділити.

Означення 3.17. Сумою двох послідовностей називається числова послідовність, члени якої дорівнюють сумам відповідних членів цих послідовностей:

.

Означення 3.18. Добутком числової послідовності на скаляр називається числова послідовність, члени якої дорівнюють членам початкової послідовності, помноженим на скаляр:

.

Операція віднімання реалізується додаванням другої послідовності, яка помножена на (-1):

.

Означення 3.19. Добутком двох послідовностей називається числова послідовність, члени якої дорівнюють добуткам відповідних членів цих послідовностей:

.

Означення 3.20. Часткою двох послідовностей називається числова послідовність, члени якої дорівнюють часткам відповідних членів цих послідовностей:

.

Зокрема, існує послідовність, обернена до даної.

Означення 3.21. Послідовність називається оберненою до даної, якщо її члени є оберненими до членів початкової послідовності:

.

Границя числової послідовності

Головним питанням, яке виникає при дослідженні числових послідовностей, є питання про поведінку її членів при .

Означення 3.22. Числова послідовність називається збіжною, якщо існує її границя.

Означення 3.23. Число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого додатного існує номер , який залежить від , такий, що для всіх членів послідовності з номером, більшим за , виконується нерівність:

.

Позначається це так:

.

Використовуючи квантори, означення можна записати так:

.

Означення 3.24. (геометричне). Число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого додатного існує номер , який залежить від , такий, що всі члени з номерами, більшими за належать -околу точки :

.

З цього означення випливає, що -околу точки належить нескінчена кількість членів послідовності, а поза околом знаходиться скінчена їх кількість (не більша за ).

Властивості збіжних числових послідовностей

Теорема 3.1. Якщо границя числової послідовності існує, то вона єдина.

Доведення (Від протилежного). Припустимо протилежне, а саме: у збіжної послідовності дві різні границі: , . Оскільки за означенням може бути довільним додатним числом, візьмемо .

У такому випадку - околи точок і не перетинаються : . Нехай за означенням границі, починаючи з номера , члени послідовності належать , а починаючи з , належать . Розглянемо член послідовності з номером . Оскільки , то , але також , отже, , тобто перетин цих околів містить принаймні одне число : . Отримано протиріччя, яке встановлює правильність твердження теореми.

Теорема 3.2. Будь-яка збіжна послідовність є обмеженою.

Доведення. Нехай . Візьмемо . За означенням . З останньої нерівності випливає, що, починаючи з номера , члени послідовності належать проміжку і тільки перші членів можуть лежати поза цим проміжком. Позначимо та . Тоді для всіх членів виконується нерівність: і, отже, за означенням, послідовність є обмеженою.

Зауваження. Теорема встановлює необхідну умову збіжності, а саме: якщо послідовність збіжна, то вона обмежена, але не будь-яка обмежена послідовність є збіжною.

Приклад. Розглянемо послідовність: . Її члени дорівнюють +1, або , тобто вона є обмеженою. Але ця послідовність не має границі. Дійсно, візьмемо , тоді для будь-якої точки , її -окіл або не містить членів послідовності, або містить нескінченну їх кількість, але поза цим околом також знаходиться нескінченна множина членів послідовності, тобто, жодне число не може бути границею цієї послідовності.

Означення 3.25. Числова послідовність називається нескінченно малою послідовністю, якщо її границя дорівнює нулю.

Теорема 3.3 Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай дано дві нескінченно малі послідовності: . За означенням, для будь-якого існує номер такий, що , або: . Аналогічно, для будь-якого існує номер такий, що , або: .

Тоді : . Отже, границя суми дорівнює нулю, послідовність є нескінченно малою.

Зауваження. Асоціативний закон, якому підпорядкована операція додавання, дозволяє розповсюдити теорему на суму скінченої кількості послідовностей.

Теорема 3.4. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай - нескінченно мала послідовність ( ),

- обмежена послідовність ( ). За означенням, для будь-якого існує номер такий, що , або: . Тоді : . Отже, , тобто добуток є нескінченно малою послідовністю.

Теорема 3.5. Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай дві нескінченно малі послідовності. Розглянемо їх добуток. Оскільки перша з них є збіжною, то за теоремою 3.2. вона є обмеженою. Отже, ми маємо добуток нескінченно малої послідовності на обмежену, і за теоремою 3.4. цей добуток є нескінченно малою послідовністю.

Зауваження. Асоціативний закон, якому підпорядкована операція множення, дозволяє розповсюдити теорему на добуток скінченої кількості послідовностей.

Теорема 3.6. Для того щоб послідовність мала границею число , необхідно і достатньо, щоб послідовність була нескінченно малою.

Доведення.

Необхідна умова: якщо , то − нескінченно мала числова послідовність.

Доведення. З означення границі: . Запишемо останню нерівність у вигляді: . Вона виконується , тобто . За означенням, − нескінченно мала числова послідовність.

Достатня умова: Якщо − нескінченно мала числова послідовність, то .

Доведення. За означенням, якщо , то . Остання нерівність еквівалентна нерівності: , яка виконується , отже, .