4.3. Етапи повного дослідження функції

1. Область визначення функції.

2. Точки перетину графіка з вісями координат.

3. Парність або непарність.

4. Періодичність.

5. Неперервність та точки розриву.

6. Похідна першого порядку та критичні точки першого порядку.

7. Інтервали монотонності.

8. Похідна другого порядку та критичні точки другого порядку.

9. Інтервали опуклості та угнутості графіка функції.

10. Екстремуми функції та точки перегину графіка.

11. Асимптоти графіка функції.

12. Найбільше та найменше значення функції.

13. Множина значень функції.

Приклад. Дослідити функцію і побудувати її графік.

1. Область визначення – всі дійсні числа, .

2. Точка перетину з віссю ординат, : , графік проходить через початок координат. Точки перетину з віссю абсцис, , визначає рівняння: , яке має один корінь, .

3. Область визначення симетрична відносно початку координат, можна перевірити парність. Оскільки: , то функція непарна, і її графік симетричний відносно початку координат.

4. Функція неперіодична.

5. Функція є добутком двох елементарних, а тому неперервна.

6. Похідна першого порядку: . Вона дорівнює нулю при . Точок, де перша похідна не існує, немає.

- немає

К ритичні точки першого порядку:

при

7. Монотонність за знаками похідної наведені в таблиці.

8. Похідна другого порядку:

.

Вона дорівнює 0 при . Точок, де друга похідна не існує, немає.

- немає

К ритичні точки другого порядку:

при

9. Опуклість та угнутість графіка за знаками другої похідної наведено в таблиці.

10. Екстремуми функції та точки перегину графіка наведено в таблиці.

Таблиця має вигляд:

				-1		0		1
	-		-	0	+	1	+	0	-		-
	-	0	+	+	+	0	-	-	-	0	+
						0
		пер.				пер.				пер.

11. Перевіримо, чи є асимптоти у графіка. Оскільки немає точок неусувного розриву другого роду, то вертикальних асимптот нема. Знайдемо границі: та

Оскільки ці границі існують при та при , то - вісь абсцис є горизонтальною асимптотою як при , так і при .

Ескіз графіка має вигляд:

12. Як видно з рисунка, значення функції лежать у проміжку між найменшим та найбільшим її значенням, отже, множина значень .

Завдання для самоперевірки

1. Знайти найбільше та найменше значення функцій на заданих проміжках:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

2. Провести повне дослідження функцій та побудувати їх графіки:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Рекомендована література

1. Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика - Минск: «Вышєйш. Школа», 1976.

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: М., «Наука», 1975.

3. Шкіль М.І. Математичний аналіз: К.: Вища школа, 1994.

4. Бобков Н.Н. Курс математического анализа для студентов экономических специальностей – М., «МАКС Пресс», 2007.

З М І С Т

Передмова 3