Похідні вищих порядків
Як зазначалося вище, у випадку, коли функція має похідну на деякому числовому проміжку, можна розглядати похідну функцію. У свою чергу, ця похідна функція теж може мати похідну на якомусь інтервалі. Така похідна називається похідною другого порядку, або другою похідною. Якщо похідна другого порядку існує на деякому інтервалі, то можна шукати похідну від цієї функції, це буде похідна третього порядку (третьою похідною) і так далі. Деякі функції мають похідні, що тотожно не дорівнюють нулю, скінченого порядку, а деякі мають похідні, що тотожно не дорівнюють нулю, будь-якого порядку. Наприклад, поліном -ого степеня має відмінну від нуля похідну до -ого порядку включно, а функцію можна диференціювати скільки завгодно разів, і похідні ніколи не будуть тотожньо дорівнювати нулю.
При пошуку похідних вищих порядків техніка диференціювання та формули похідних елементарних функцій залишаються чинними.
Приклади.
1.
.
Похідна першого порядку:
,
другого:
,
третього:
.
2.
.
Похідна першого порядку:
,
другого:
,
третього:
.
3.
.
Похідна першого порядку:
Похідна
другого порядку:
4.1. Диференціал функції
З означень похідної функції в точці та границі функції випливає, що якщо в точці існує похідна, то прирощення функції можна подати у вигляді:
,
де - нескінченно мала величина при .
Означення 4.5. Диференціалом функції в точці називається головна, лінійна відносно , частина прирощення функції.
Позначається
диференціал так:
або
і дорівнює:
.
Зрозуміло, що при значення диференціалу наближається до прирощення функції. Це дозволяє використовувати диференціал для наближеного обчислення прирощення.
Геометричний зміст диференціалу
Розглянемо функцію, яка має похідну, а значить і дотичну в точці .
З рисунка випливає, що диференціал показує, наскільки зростає ордината дотичної при прирощені аргументу.
Оскільки
похідна лінійної функції є сталою, то
диференціал лінійної функції дорівнює
прирощенню функції (дотична до прямої
співпадає з самою прямою). Зокрема,
аргумент можна вважати лінійною функцією,
тому
,
і диференціал функції набуває вигляду:
.
Виходячи з цього співвідношення, похідну можна позначати так:
.
У випадку
складеної функції диференціал зберігає
свою форму. Дійсно, нехай дана функція
,
її похідна :
,
а диференціал:
.
Добуток
,
отже,
.
Ця властивість називається інваріантністю
форми диференціала.
Приклад.
Знайти диференціал функції:
.
За
означенням
.
Спочатку знайдемо похідну:
.
Відповідно, диференціал має вигляд:
.
Запитання та завдання для самоперевірки
Для функцій із попереднього розділу:
та ,
вкажіть точки, у яких функція неперервна, але не має похідної.
Нехай функція визначена при
.
У яких точках цього
проміжку не існує похідна?
3. Знайдіть похідні та диференціали функцій:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
.