4. Диференціальне числення

Розглянемо функцію , визначену в деякому околі точки : . Надамо аргументу прирощення такого, що точка належить .

Різниця значень функції в точках та утворює прирощення функції:

.

Означення 4.1. Похідною функції у точці називається границя відношення прирощення функції в точці до прирощення аргументу при прямуванні останнього до нуля. Позначається вона так:

Границя функції − це число, отже, похідна функції в точці також число.

Якщо функція має похідну в усіх точках деякого числового проміжку, то оскільки границя функції єдина, на цьому проміжку утворюється відображення точок проміжку на множину значень похідних у точках, яке є функцією. Ця функція також називається похідною.

Означення 4.2. Якщо функція має похідну в точці, то вона називається такою, що має диференціал.

Означення 4.3. Якщо функція має похідну в усіх точках деякого числового проміжку, то вона називається такою, що має диференціал на проміжку.

Знайдемо похідну функції в деякій точці, що належить області визначення , за означенням.

Задамо аргументу прирощення . Значення функції в точці : , значення функції в точці : .

Прирощення функції дорівнює: . Знайдемо границю відношення: (добуток не залежить від , отже, у процесі є сталою величиною, а границя ).

Точка була довільна, отже, похідна функції існує , похідна функція має вигляд: .

З означення випливає, що похідна показує, на скільки зростає функція при нескінченно малому зростанні аргументу. Якщо функція й аргумент мають який зміст (механічний, економічний, геометричний, тощо), то похідна функції буде мати відповідний зміст.

Геометричній зміст похідної

Розглянемо графік функції і точку , яка є внутрішньою точкою області визначення. Зокрема, це означає, що функція визначена в деякому околі .

Точці на графіку відповідає точка . Проведемо через точку січну, яка перетинає графік у поточній точці . Позначимо . Різницю значень функції в цих точках позначимо:

.

Січна утворює з віссю абсцис кут, який дорівнює куту . Тангенс цього кута дорівнює і залежить від положення точки . Будемо пересувати точку до точки . При цьому січна буде повертатися навколо точки , а дуга прямуватиме до нуля.

Означення 4.4. Дотичною до графіка функції у точці називається граничне положення січної , яке вона займає, при тому що дуга .

Кут нахилу дотичної , буде знаходитися як границя кутів , при , що прямує до , тобто . Як відомо, кутовий коефіцієнт існує не у всіх прямих. Якщо , то кутовий коефіцієнт дотичної буде дорівнювати:

.

Отже, для випадку, коли дотична не перпендикулярна вісі абсцис, похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної. Якщо ж дотична перпендикулярна до вісі абсцис, то похідна не існує, .

Таким чином, між похідною та дотичною існує такий зв'язок: якщо існує похідна в точці, то до графіка функції у відповідній точці існує дотична, але якщо в точці існує дотична, то похідна в цій точці може не існувати.

Приклад. Розглянемо поведінку функції в точці . Дотична в цій точці існує і перпендикулярна до вісі абсцис, а похідна, , не існує.

Зауваження. Нехай функція визначена на відрізку . За означенням, похідна функції в точці є границею, а необхідною і достатньою умовою існування границі є існування та рівність односторонніх границь. Оскільки функція не визначена зліва від точки , то лівостороння границя тут не існує, отже, не існує границя взагалі, тобто похідна також не існує. Аналогічна ситуація в точці . Таким чином, якщо функція визначена на відрізку , то вона може мати похідну лише на інтервалі .

Теорема 4.1. (Зв'язок між похідною і неперервністю). Якщо існує похідна функції в точці , то функція неперервна у .

Доведення Якщо в точці існує похідна, то з означення похідної функції в точці та означення границі функції випливає, що прирощення функції можна подати у вигляді:

,

де - нескінченно мала величина при .

Таким чином, нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале прирощення функції, а це, за одним з означень неперервності, установлює неперервність функції в точці .

Зауважимо, що обернене твердження не є істинним. Прикладом є функція . У точці функція є неперервною, але похідна тут не існує. Дійсно, ця функція не є елементарною, оскільки визначається двома різними аналітичними виразами: . У точці ця функція неперервна: границя функції при існує: . Обидві односторонні границі існують і є рівними, отже, і дорівнює значенню функції в точці . У той же час похідна в цій точці не існує. Дійсно, будемо шукати похідну. Прирощення аргументу в точці дорівнює: , прирощення функції і становитиме при та при . Таким чином, лівостороння границя відношення прирощень, , а правостороння і вони не рівні, отже, границя не існує, тобто в цій точці похідна не існує. Це можна побачити на графіку функції:

Усі січні, які будуються зліва від , співпадають з графіком функції , а справа з графіком , тобто граничного положення січних не існує.